定解条件
仅仅有方程是不够的, 要完全确定质点的运动状态, 还需要有初始条件, 否则微分方程的通解中含有两个任意函数, 解不是唯一确定的.
初始条件
初始条件比较简单: 在某个初始时刻 $t = t_0$, 对未知函数及其部分赋值. 适用于含有时间的 PDE, 例如
- 波动方程: $u\vert_{t=0} = \varphi(x,y,z), \dfrac{\partial u}{\partial t}\bigg\vert_{t=0}=\psi(x,y,z)$
- 热传导方程: $u\vert_{t=0}=\varphi(x,y,z)$ (只需要给出初始时刻温度, 因为方程只出现了 $u$ 对 $t$ 的一阶偏微商)
边界条件
边界条件比较多样, 但总体的思路是在空间区域边界 $\partial\Omega$ 上规定解的的值或导数.
波动方程的边界条件
对于弦振动, 通常有两端固定的约束条件, 此时一般有
\[\begin{cases} u\vert_{x=0}=0, \\ u\vert_{x=t}=0 \end{cases} \quad t\ge 0\]对于杆的纵振动, 通常有:
- 一端固定的条件: $u\vert_{x = 0} = 0, \quad t \ge 0$
- 一端外力的条件: $\dfrac{\partial u}{\partial x}\bigg\vert_{x=l} = \dfrac{1}{E}F(t)$
此处外力下边界条件的推导: 模仿推导方程的办法, 在 $x=l $ 处取一小块长度为 $\varepsilon$ 的介质, 根据 Newton 第二定律有
\[\rho\varepsilon S\frac{\partial^2 u}{\partial t}\bigg\vert_{x=l-\alpha\varepsilon} = F(t)S-p(l-\varepsilon, t)S\]其中 $0<\alpha<1$. 令 $\varepsilon\to0$, 即得 $p(l,t) = F(t)$. 又 $\displaystyle p=E\frac{\partial u}{\partial x}$, 整理即得.
热传导方程的边界条件
通常有三种常见类型.
- Dirichlet 边界条件, 即边界上各点的值已知. 在热传导方程中, 通常的形式为 $u\vert_\Sigma = \varphi(\Sigma, t)$.
- Neumann 边界条件, 即边界的法向导数已知. 在热传导方程中, 通常在边界内侧截取一小薄层介质, 一个底面在介质的表面, 另一个在介质的内部. 柱体的两底面积相等, 厚度趋近于0. 由介质表面流入的热量应当全部通过薄层的底面流入介质内部, 边界条件即为 $\dfrac{\partial u}{\partial n}\bigg\vert_\Sigma = \dfrac{1}{k}\psi(\Sigma, t)$.
- Robin 边界条件, 即边界的法向导数和值的线性组合已知. 在热传导方程中, 通常表现为按照 Newton 冷却定律散热: $-k\dfrac{\partial u}{\partial n}\bigg\vert_\Sigma=H(u\vert_\Sigma-u_0)$.
值得注意的是, 整个边界面上, 各点的边界条件并不一定有统一的表达式, 也不见得属于同一种类型.
无穷远条件与有界条件
特别地, 对于无界空间, 边界条件应当给出未知函数在无穷远处的极限行为. 常见的条件是函数在无穷远处为 $0$, 比如大家都经常取无穷远处电势 $V(\infty) = 0$.
在有界空间的问题中, 有时也要出现有界条件, 它通常是为了保证能量有限而存在的.
边界条件与初始条件是非常不同的. 以线性齐次常微分方程 $y^”+y=0$ 为例,
- 以齐次初始条件 $y\vert_{x=0}=0, y’\vert_{x=0}=0$ 定解, 方程只有零解;
- 以齐次边界条件 $y\vert_{x=0}=0, y\vert_{x=\pi}=0$ 定解, 方程有非零解 $y=C\sin x$.
一阶常微分方程没有边界条件.
连接条件
如果所研究的问题是由多种介质构成的, 则在介质之间的地方会产生内部的 “边界”. 一个著名的例子是两种电介质之间电场和电位移矢量满足的关系:
\[\begin{cases} E_{1t}=E_{2t}\\ D_{1n}=D_{2n}-\sigma_f \end{cases}\]对任意跨越分界面的极小回路, 有 $\displaystyle \oint\boldsymbol E\cdot\mathrm d\boldsymbol \ell=0$. 令 $\Delta h\to0$, 仅保留上沿和下沿的贡献, 可得 $(\boldsymbol E_2-\boldsymbol E_1)\cdot\boldsymbol \tau=0$, 即 $E_{1t}=E_{2t}$. 取跨界面的小 Gauss 柱, 应用 $\displaystyle \oint\boldsymbol D\cdot \mathrm d\boldsymbol S=Q_f$, 极限过程得到 $D_{2n}-D_{1n}=\sigma_f$.
定解问题的适定性
一个微分方程要有符合客观规律的解, 应当满足:
- 解的存在性: 定解问题有解. 如果定解条件过多且互相矛盾, 则定解问题无解.
- 解的唯一性: 定解问题的解是唯一的. 这要求解的条件不多不少, 恰到好处.
- 解的稳定性: 定解问题中的已知条件有微小改变时, 解也只有微小的改变.
以上性质统称适定性. 只要对实际物理问题的抽象合理, 初始条件的确是完全地, 确定地描写了初始时刻体系内部以及边界面上任意一点的状况, 边界条件的确是完全而且确定地描写了边界面上任意一点在 $t\ge 0$ 的状况, 那么这样构成的定解问题就一定是适定的.