分离变量法总结
分离变量法能否普遍地应用于求解偏微分方程定解问题, 在理论上, 取决于以下问题:
- 本征值问题是否一定有解? 换言之, 在什么条件下本征值问题一定有解?
- 定解问题的解是否一定可以按照某一组本征函数展开? 换言之, 在什么条件下本征函数是完备的?
- 本征函数是否一定有正交性?
下面将从理论上为这几个问题提供充分条件.
伴算符与自伴算符
笔者假定读者具有一定的线性代数基础, 了解内积空间与函数空间的若干概念.
设 $\boldsymbol L, \boldsymbol M$ 是定义在一定函数空间 $\Sigma$ 内的算符, 如果 $\forall u, v\in\Sigma$, $\langle v, \boldsymbol Lu\rangle = \langle\boldsymbol Mv, u\rangle$, 则称 $\boldsymbol M$ 是 $\boldsymbol L$ 的伴算符. 例如, 根据分部积分原理, 如果 $u,v$ 都满足边界条件 $y(a)=y(b)$, 则 $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}$ 的伴算符是 $-\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}$.
容易证明, 伴算符都是互伴的. 特别地, 伴算符是自身的算符成为自伴算符. 例如
\[\int_a^b v^*\frac{\mathrm d^2u}{\mathrm dx^2}\mathrm dx=\left[v^*u'-(v^*)'u\right]_a^b+\int_a^b\left(\frac{\mathrm d^2v}{\mathrm dx^2}\right)^*u\mathrm dx\]当 $\left[v^*u’-(v^*)’u\right]_a^b=0$ 时, $\dfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}$ 是一个自伴算符. 这个条件可以通过 Dirichlet / Neumann / Robin 边界条件达成, 也可以通过周期条件达成.
算符的自伴性总是与一定的函数空间联系在一起的. 通常, 我们要求
- 函数定义在给定的区间上;
- 函数具有一定的连续性, 即属于某一 Hilbert 空间;
- 函数满足一定的边界条件, 即局限在 Hilbert 空间中的一定子空间 (流形) 内.
满足以上条件的函数称为允许函数类. 不能脱离边界条件的约束来讨论算符的自伴性.
自伴算符的本征值问题
若 $\boldsymbol L$ 是一个自伴算符, 那么方程 $\boldsymbol Ly(x)=\lambda y(x)$ 称为自伴算符的本征值问题. 这里没有出现齐次边界条件, 因为边界条件已经隐含在自伴算符 $\boldsymbol L$ 的定义中了.
自伴算符的本征问题成立如下性质:
- 自伴算符的本征值为实数.
证明. $\boldsymbol Ly=\lambda y\implies(\boldsymbol Ly)^*=\lambda^*y^*$. 由于 $\boldsymbol L$ 是自伴算符, 所以有
\[\displaystyle\int_a^b[y^*\boldsymbol Ly-(\boldsymbol Ly)^*y]\mathrm dx=0\implies(\lambda-\lambda^*)\int_a^byy^*\mathrm dx=0\]所以 $\lambda=\lambda^*$.
- 不同本征值的本征函数互相正交.
证明. 采用我们熟悉的策略, 对于两个本征值问题
$\boldsymbol Ly_i=\lambda y_i,\;\boldsymbol Ly_j=\lambda y_j,$ 有
\[\int_a^b[y_i^*\boldsymbol Ly_j-(\boldsymbol Ly_i)^*y_j]\mathrm dx=(\lambda_j-\lambda_i)\int_a^b y_i^*y_j\mathrm dx\]对于 $\lambda_i\neq\lambda_j$ 有
\[\int_a^by_i^*y_j\mathrm dx=0\]
- 本征函数乘以一个非零常数因子, 仍然是本征值函数. 可以适当选择这个常数因子, 使得 $\displaystyle\int_a^by_i^*y_i\mathrm dx=1$, 这样得到的就是一个正交归一的函数组.
- 自伴函数的本征值问题与泛函 $\lambda[y]=\frac{\displaystyle\int_a^by^*(x)\boldsymbol Ly(x)\mathrm dx}{\displaystyle\int_a^by^*(x)y(x)\mathrm dx}$ 的变分极值问题 $\delta\lambda[y]=0$ 等价.
- 如果自伴算符的本征值是可数的, 最小本征值有限, 且 $\lim_\limits{n\to\infty}\lambda_n=+\infty$, 则其本征函数序列是完备的.
Sturm-Liouville 型方程的本征值问题
我们已经讨论过 $X’’+\lambda X=0$, $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[(1-x^2)\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right]+\left(\lambda-\dfrac{m^2}{1-x^2}\right)y=0$, $\dfrac{1}{r}\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dr}\left(r\dfrac{\mathrm dR}{\mathrm dr}\right)+\left(\lambda^2-\dfrac{m^2}{r^2}\right)R=0$ 等几个常微分方程的本征值问题. 它们可以归纳为一般形式
\[\boxed{\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(p(x)\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)+[\lambda\rho(x)-q(x)]y=0}\]称为 Sturm-Liouville 方程. 其中, $p(x)$, $q(x)$, $\rho(x)$ 都是实函数且满足必要的连续性要求, $\rho(x)$ 称为权重函数.
$\rho(x)$ 可能不是常数, 这时它可以来源于正交曲面坐标系的使用, 也可能来源于问题所涉及的物理性质的不均匀性, 但不妨碍我们设 $\rho(x)\ge 0$ 且不恒为 $0$.
定义微分算符
\[\boldsymbol L\equiv-\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(p(x)\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)+q(x)\]则 $\boldsymbol Ly(x)=\lambda\rho(x)y(x)$, 附加上适当的边界条件就构成了 Sturm-Liouville 型方程的本征值问题. 当 $\lambda$ 取某些特定值的时候, 有满足 Sturm-Liouville 型方程以及边界条件的非零解, $\lambda$ 的这些特定值即为本征值, 相应的非零解即为本征函数.
对 Sturm-Liouville 型方程的修改
为了将 $\boldsymbol Ly(x)=\lambda\rho(x)y(x)$ 在形式上与 $\boldsymbol Ly(x)=\lambda y(x)$ 统一, 进行如下修改.
- 引入新的算符 $\boldsymbol L’\equiv\dfrac{1}{\rho(x)}\boldsymbol L$, 则 Sturm-Liouville 型方程化为 $\boldsymbol L’y(x)=\lambda y(x)$;
- 修改内积定义为 $\displaystyle\langle y_1,y_2\rangle_\rho\equiv\int_a^by_1^*(x)y_2(x)\rho(x)\mathrm dx$, 此时 $y_1^*\boldsymbol Ly_2-(\boldsymbol Ly_1)^*y_2=-\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[p(x)\left(y_1^*\dfrac{\mathrm dy_2}{\mathrm dx}-y_2\dfrac{\mathrm dy_1^*}{\mathrm dx}\right)\right]$ ;
- 附加边界条件 $p(x)\left(y_1^*\dfrac{\mathrm dy_2}{\mathrm dx}-y_2\dfrac{\mathrm dy_1^*}{\mathrm dx}\right)\Bigg\vert_a^b=0$. 此时算符 $\boldsymbol L’$ 在这个边界条件下是自伴的, 换言之, 在这个边界条件下, 自伴算符本征值问题的一系列结论都能移植到 Sturm-Liouville 型方程.
为了达成这个特殊的边界条件 $p(x)\left(y_1^*\dfrac{\mathrm dy_2}{\mathrm dx}-y_2\dfrac{\mathrm dy_1^*}{\mathrm dx}\right)\Bigg\vert_a^b=0$, 可通过以下几种情形:
- $p(x)\left(y_1^*\dfrac{\mathrm dy_2}{\mathrm dx}-y_2\dfrac{\mathrm dy_1^*}{\mathrm dx}\right)$ 在 $x=a,\;x=b$ 均为 $0 $. 以端点 $x=a$ 为例.
- 若 $p(a)\neq 0$, 可以加上 Dirichlet / Neumann / Robin 边界条件;
- 若 $p(a)=0$, 此时 $x=a$ 是方程的奇点, 假设 $p(x)$, $q(x)$, $\rho(x)$ 满足一定的要求, 使得 $x=a$ 是方程的正则奇点, 第一解有界, 第二解无界. 这时边界条件通常是有界条件, 例如 $p(a)=0,\;p’(a)\neq 0$, $\rho(x)$ 和 $(x-a)q(x)$ 均在 $x=a$ 点解析.
- 若 $p(a)=0$ 且 $x=a$ 是方程的非正则奇点, 则一定条件下可以通过要求函数平方可积来确定本征值.
- $p(x)\left(y_1^*\dfrac{\mathrm dy_2}{\mathrm dx}-y_2\dfrac{\mathrm dy_1^*}{\mathrm dx}\right)$ 在 $x=a,\;x=b$ 数值相等但不为 $0 $. 此时 $p(a)=p(b),\;q(a)=q(b)\;,\rho(a)=\rho(b)$ 就可以满足这个要求, 这正是周期条件的情形.
本征值问题中的简并现象
如果 Sturm-Liouville 型方程本征值问题的本征函数是复的, 且实部和虚部线性无关, 则此本征值问题是二重简并的.
设 $y_1(x)$, $y_2(x)$ 都是 Sturm-Liouville 型方程本征值问题的两个实的线性无关的本征函数, 并且$p(x)\left(y_1^*\dfrac{\mathrm dy_2}{\mathrm dx}-y_2\dfrac{\mathrm dy_1^*}{\mathrm dx}\right)$ 在 $x=a,\;x=b$ 均为 $0$, 那么 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 不可能对应于同一个本征值 $\lambda$.
从 S-L 型方程本征值问题看分离变量法
我们从前讨论过将定解问题按照本征函数的全体展开的求解策略, 实际上在其中本征函数组的完备性起了决定性的作用. 而且为了保证解能够收敛 (至少是平均收敛) 到解 $u$, 必须遍及全部本征函数求和, 绝不可以无理由地舍弃若干本征函数, 否则尽管这个解是形式上的级数 “解”, 但它并不是这个问题的解.
从定解问题来看, 这种解法是否成功, 取决于定解问题是否线性以及边界条件是否其次. 如果定解问题中的偏微分方程改为非齐次的, 例如在平面波动方程中引入 $\dfrac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=f(x,t)$, 要求 $f(x,t)$ 作为 $x$ 的函数, 和 ${X_n(x)}$ 属于同一个函数空间, 同样也可以得到常微分方程组
\[\begin{cases} \displaystyle T_n^"(t)-a^2\sum_{m=1}^\infty\langle X_n, X_m^"\rangle T_m(t)=(X_n,f)\quad m=1,2,3,\dots\\ T_n(0)=\langle X_n,\varphi\rangle,\; T_n'(0)=\langle X_n,\psi\rangle \end{cases}\]定解问题解的存在唯一性保证了最后求得的解是相同的.
并不是任何常微分方程组都容易求解, 在实际求解过程中, 就需要恰当的选择本征函数组 ${X_n}$,使得 $T_n$ 的求解问题尽可能简单.