Green 函数方法
Green 函数
我们为什么需要 Green 函数？
我们举一个生活化的例子. 假如你想要知道一张一维蹦床上站着一排人会产生什么样的变形, 你可以研究 “如果只有一个体重为 $1$ 的人站在坐标为 $x’$ 的地方的时候, 蹦床在 $x$ 处会下陷多少”, 然后通过积分来求解.
这实际上是线性叠加原理的应用. 蹦床也好 (假定这张蹦床下陷确实是线性叠加的), 无界空间静电场的电势分布也好, 只要知道了单位冲击的响应, 任何复杂的连续载荷都可以看作是无数个微元的叠加.
用形式化的语言来描述. 考虑一个线性微分算符 $L$, 解非齐次方程 $Lu(x)=f(x)$. 定义 Green 函数满足
\[\boxed{L\color{red}{G(x;x')}=\delta(x-x')}\]一旦求出 $G(x;x’)$, 原方程的解就可以通过积分 $\displaystyle u(x)=\int G(x;x’)f(x’)\mathrm dx’$ 得到.
再以无界空间静电场的电势分布为例. 成立 Poisson 方程 $\nabla^2\varphi(\mathbf r)=-\dfrac{\rho(\mathbf r)}{\varepsilon_0}$. 这里, $f=\rho(\mathbf r)$.先考虑一个位于 $\mathbf r’$ 的单位电荷产生的影响, 其 Green 函数满足
\[\nabla^2 G(\mathbf r;\mathbf r')=\delta(\mathbf r-\mathbf r')\]Green 公式
Green 第一公式是将散度定理
\[\iiint_V(\nabla\cdot\mathbf F)\mathrm dV=\iint_S(\mathbf F\cdot\mathbf n)\mathrm dS\]应用于向量场 $\mathbf F=\varphi\nabla\psi$ 上的结果. 其形式为
\[\iiint_V\varphi(\mathbf r)\nabla^2\psi(\mathbf r)\mathrm d^3\mathbf r=\iint_\Sigma \varphi\nabla\psi\cdot\mathrm d\mathbf\Sigma-\iiint_V\nabla\varphi\cdot\nabla\psi\mathrm d^3\mathbf r\]它看起来很像一元微积分里的分部积分公式的高维版本. 它主要用于证明解的唯一性, 而且里面有一个难以处理的 $\nabla\varphi\cdot\nabla\psi$ 项, 所以不是非常常用.
Green 第二公式则在此基础上, 交换 $\varphi$, $\psi$ 的位置并且相减, 得到
\[\boxed{\iiint_V(\varphi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\varphi)\mathrm d^3\mathbf r=\iint_\Sigma(\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi)\cdot\mathrm d\mathbf \Sigma}\]因此我们可以通过将 $\psi$ 设为 Green 函数 $G(\mathbf r;\mathbf r’)$, 将 $\varphi$ 设为待求函数 $u(\mathbf r)$, 利用 $\delta$ 函数的筛选性质简化积分. 以无界空间静电场为例, 将 Poisson 方程代入第二公式, 经过移项整理可以得到
\[u(\mathbf r')=\iiint_VG(\mathbf r;\mathbf r')\rho(\mathbf r')\mathrm d^3\mathbf r-\varepsilon_0\iint_\Sigma[u(\mathbf r)\nabla G-G\nabla u(\mathbf r)]\cdot\mathrm d\mathbf\Sigma\]这个公式可以分为两项. 第一项是体积分, 用于描述区域内源项的直接贡献; 第二项是面积分, 用于描述边界条件对内部场的影响.
Green 第二公式虽然形式简洁、物理意义明确, 但是在面积分项中, 要求我们同时知道边界上的 $u$ 和 $\nabla u$, 而这通常是超定的. 为了消去未知项, 我们必须给 Green 函数加上齐次边界条件.
- 如果我们已知边界 $u\vert_\Sigma=f(\Sigma)$, 即 Dirichlet 条件, 我们就人为规定边界上 Green 函数为 $0$, 这样公式中 $G\nabla u$ 就消失了, 我们只需要代入已知的边界电势即可.
- 如果我们已知边界的法向导数 $\dfrac{\partial u}{\partial n}$, 我们直觉上会想设 $\dfrac{\partial G}{\partial n}\bigg\vert_\Sigma=0$. 然而这里会出现数学上的冲突.
根据 Gauss 定理, 点源 $G$ 在全空间的通量必须等于源的总强度, 即 $-\dfrac{1}{\varepsilon_0}$ ; 但如果我们强行设 $\dfrac{\partial G}{\partial n}\bigg\vert_\Sigma=0$, 面积分就会变为 $0 $, 从而出现矛盾. 这说明在齐次 Neumann 边界条件下, 不存在传统的 Green 函数.
广义 Green 函数
因此我们重新定义广义 Green 函数 $G_m$, 满足 $\nabla^2 G_m(\mathbf r;\mathbf r’)=\delta(\mathbf r-\mathbf r’)-\dfrac1V$. 这可以理解为在空间里放了一个单位点电荷, 又撒了一层均匀的负电荷背景, 使得全空间的总电荷恰好为 $0$. 此时再对全空间积分, 得到
\[\iiint_V\nabla^2 G_m\mathrm d^3\mathbf r=\iiint_V\delta\mathrm d^3\mathbf r-\iiint_V\frac1V\mathrm d^3\mathbf r=0\]此时我们终于可以令 $\dfrac{\partial G_m}{\partial n}\bigg\vert_\Sigma=0$ 了. 在这种情况下, 原方程的解 $u$ 会多出一个常数项, 但这在物理上是可以接受的, 对于这个例子来说, 就是电势零点选择之处的问题.
稳定 Green 函数的一般性质
Green 函数在点源附近的行为
Green 函数 $G(\mathbf r;\mathbf r’)$ 在源点 $\mathbf r=\mathbf r’$ 处必然是不连续且发散的, 因为那里放置了一个无限浓缩的 $\delta$ 源. 有趣的是, 空间维度不同, 这种奇异性的特征也完全不同.
在三维 Poisson 方程中, 点源附近的行为由我们熟悉的 Coulomb 电势所主导, 表现为 $\dfrac{1}{ \mathbf r-\mathbf r’ }$ 的发散. 此时 $G$ 可以写成基本解 $G_0$ 和正则项 $g$ 之和, 即
其中 $g$ 在 $V$ 内处处连续且满足 Laplace 方程, 它代表边界感生电荷的贡献.
- 在二维平面 (例如无限长直线电荷的横截面) 中, 表现为 $\ln\lvert\mathbf r-\mathbf r’\rvert$ 的发散, 其基本解的形式为
- 在一维情形下 (例如三维空间中无限大的面源), Green 函数在源点处令人惊奇地处处连续, 但是它的一阶导数在原点处并不连续.
Green 函数的对称性
对于稳定问题的 Green 函数, 在满足齐次边界条件时, 满足如下对称关系
\[\boxed{G(\mathbf r';\mathbf r)=G(\mathbf r;\mathbf r')}\]这意味着源点 $\mathbf r’$ 和观测点 $\mathbf r$ 的位置可以互换, 而函数值保持不变.
证明. 分别设定点源位于 $\mathbf r’’$ 和 $\mathbf r’$ 的两个 Green 函数 $G(\mathbf r;\mathbf r’’)$ 和 $G(\mathbf r;\mathbf r’)$. 利用 Green 第二公式, 得到
\[\iiint_V[G(\mathbf r;\mathbf r'')\nabla^2G(\mathbf r;\mathbf r')-G(\mathbf r;\mathbf r')\nabla^2G(\mathbf r;\mathbf r'')]\mathrm d^3\mathbf r=\iint_\Sigma [G(\mathbf r;\mathbf r'')\nabla G(\mathbf r;\mathbf r')-G(\mathbf r;\mathbf r')\nabla G(\mathbf r;\mathbf r'')]\cdot\mathrm d\mathbf\Sigma\]左边利用 Green 函数的性质, 直接得到 $G(\mathbf r’;\mathbf r’’)-G(\mathbf r’’;\mathbf r’)$ ; 右边的面积分项由于 $G$ 满足同一种齐次边界条件, 导致积分结果为 $0 $. 所以我们得到
\[G(\mathbf r';\mathbf r'')=G(\mathbf r'';\mathbf r')\]
它证明了线性系统的空间对称性. 即使边界形状非常奇怪, 只要满足齐次条件, 这种点对点的响应对称性仍然存在.
调和函数的平均值定理与最大最小值定理
在没有源的区域, 电势满足 Laplace 方程 $\nabla^2 u=0$, 这类函数被称为调和函数.
调和函数在任何一点的值, 等于它周围任何一个球面上取值的平均值, 即
\[u(\mathbf r')=\dfrac{1}{4\pi R^2}\iint_Su(\mathbf r)\mathrm dS\]这解释了 Green 函数的正则项 $g$ 为何在区域内总是处处连续且平滑的, 因为每一点的值都被其邻域所确定了.
证明. 我们已经知道 $\nabla^2 G(\mathbf r;\mathbf r’)=-\delta(\mathbf r-\mathbf r’)$ 的解为 $G(\mathbf r;\mathbf r’)=\dfrac{1}{4\pi\lvert\mathbf r-\mathbf r’\rvert}$. 将 $u$ 和 $G$ 代入 Green 第二公式, 并且利用 $\nabla^2 u=0$ 和 $\delta$ 函数的积分, 得到
\[u(\mathbf r')=\iint_\Sigma\frac{u(\mathbf r)\mathrm d\Sigma_{\mathbf r}}{4\pi|\mathbf r-\mathbf r'|^2}+\iint_\Sigma\frac{\nabla u\cdot\mathrm d\mathbf\Sigma}{4\pi|\mathbf r-\mathbf r'|}\]取边界 $\Sigma$ 为以 $\mathbf r’$ 为球心, $R$ 为半径的球面, 则
\[u(\mathbf r')=\frac{1}{4\pi R^2}\iint_\Sigma u(\mathbf r)\mathrm d\Sigma+\frac{1}{4\pi R}\iint_\Sigma\nabla u\cdot\mathrm d\mathbf \Sigma\]而由先前的讨论,
\[\displaystyle\iint_\Sigma\nabla u\cdot\mathrm d\mathbf \Sigma=0\]这样就得到了调和函数的平均值定理.
根据平均值定理, 可以判断, 球面上的最大值必然不小于球心处的函数值, 最小值必然不大于球心处的函数值. 通过调整半径和球心的位置, 必然有调和函数的最大值和最小值都出现在区域的边界上, 此即最大最小值定理. 由此可以得到解的唯一性: 如果两个解在边界上相同, 那么它们的差值在内部既没有最大值也没有最小值, 只能处处为 $0$.
再论电像法
在之前的理论中, 我们知道 Green 函数可以拆成基本解和正则项两部分. 电像法的小巧思在于, 既然 $g$ 是调和函数, 那么我们就在边界外放几个虚拟的 “像电荷”, 让它们产生的势在边界上恰好抵消掉 $G_0$, 从而构造出 $g$.
电像法的合理性来源于解的唯一性定理, 这一点读者想必在基础物理教育中已经学习过了. 只要一个函数在区域内满足 Poisson 方程, 且在边界上满足给定的条件, 那么它就是唯一的解.
像电荷必须放在观测区域的外部. 这样它们在区域内就可以满足 $\nabla^2 g=0$, 不会破坏原有方程的源项分布. 如此一来, 边界上的复杂感生电荷分布, 被我们用几个简单的点电荷等效替代了.
我们来考虑一个例子. 二维平面内, 半径为 $a$ 的圆内有一个点源 $\mathbf r’$. 要求 $G$ 在圆周上为 $0$. 设像电荷 $e$ 在 $\mathbf r_1$ 处, 采用极坐标系,
\[\begin{matrix}x=r\cos\varphi,&x'=r'\cos\varphi',&x_1=r_1\cos\varphi'\\ y=r\sin\varphi, &y'=r'\sin\varphi',&y_1=r_1\sin\varphi'\end{matrix}\]而 $G(\mathbf r;\mathbf r’)=-\dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0}[\ln\lvert\mathbf r-\mathbf r’\rvert+e\ln\lvert\mathbf r-\mathbf r_1\rvert+C]=0$, 方程化为
\[\ln[a^2+r'^2-2ar'\cos(\varphi-\varphi')]+e\ln[a^2+r_1^2-2ar_1\cos(\varphi-\varphi')]+2C=0\]对于一切 $\varphi$ 都成立. 利用展开式
\[\ln(1+t^2-2t\cos\varphi)=\ln(1-t\mathrm e^{\mathrm i\varphi})+\ln(1-t\mathrm e^{-\mathrm i\varphi})=-2\sum_{m=1}^\infty\frac{1}{m}t^m\cos m\varphi, \quad |t|<1\]就可以进一步化作
\[2\ln a+2e\ln r_1-2\sum_{m=1}^\infty\frac1m\left[\left(\frac{r'}{a}\right)^m+e\left(\frac{a}{r_1}\right)^m\right]\cos m(\varphi-\varphi')+2C=0\]从而
\[\ln a+e\ln r_1+C=0\]以及
\[\left(\dfrac{r'}{a}\right)^m+e\left(\dfrac{a}{r_1}\right)^m=0,\quad\forall m\in\mathbb N_+\]从而 $e=-1$, $\mathbf r_1=\left(\dfrac{a}{r’}\right)^2\mathbf r’$. 成立有 $\boxed{r’r_1=a^2}$, 凡是满足这个关系的两个点, 均成为关于圆 $r=a$ 的反演点对.
再将 $e$ 和 $r_1$ 的结果代入, 求得 $C=\ln\dfrac{a}{r’}$, $G(\mathbf r;\mathbf r’)=-\dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{a\lvert\mathbf r-\mathbf r’\rvert}{r’\lvert\mathbf r-\left(\frac{a}{r’}\right)^2\mathbf r’\rvert}$.
含时的 Green 函数
在稳定问题中, Green 函数描述的是空间叠加; 而在含时问题中, 我们关注的是在 $t’$ 时刻、 $\mathbf r’$ 处发生的一个瞬时点源冲击如何在 $t$ 时刻、 $\mathbf r$ 处产生影响. 时间的流动是具有方向性的, 这意味着因果关系是不能倒易的.
我们以一维波动方程
\[\begin{cases} \dfrac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}-a^2\dfrac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}=f(x,t),&0<x<l,\;t>0\\ u(x,t)|_{x=0}=\mu(t),\quad u(x,t)|_{x=l}=\nu(t), &t>0\\ u(x,t)|_{t=0}=\varphi(x),\quad\dfrac{\partial u(x,t)}{\partial t}\bigg|_{t=0}=\psi(x),&0<x<l \end{cases}\]为例.
Green 函数在时间上的倒易性
由于响应不能早于源发生, 所以有 $t<t’$ 时 $G=0$. 我们可以得到
\[\begin{cases}\left[\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-a^2\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}\right]G(x,t;x',t')=\delta(x-x')\delta(t-t')\\ G(x,t;x',t')|_{x=0}=0,\quad G(x,t;x',t')|_{x=l}=0\\ G(x,t;x',t')|_{t<t'}=0,\quad\dfrac{\partial G(x,t;x',t')}{\partial t}\bigg|_{t<t'}=0\end{cases}\]同样地, 我们可以列出关于 $G(x,-t; x’’, -t’’)$ 的定解问题
\[\begin{cases}\left[\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-a^2\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}\right]G(x,-t;x'',-t'')=\delta(x-x'')\delta(t-t'')\\ G(x,-t;x'',-t'')|_{x=0}=0,\quad G(x,-t;x'',-t'')|_{x=l}=0\\ G(x,-t;x'',-t'')|_{-t<-t''}=0,\quad\dfrac{\partial G(x,-t;x'',-t'')}{\partial t}\bigg|_{-t<-t''}=0\end{cases}\]方程交叉相乘再相减, 在区间 $[0,l]$ 对 $x$ 积分, $[0,\infty)$ 对 $t$ 积分, 得到
\[\begin{align*} &G(x',-t'; x'',t'')-G(x'',t'';x',t')\\ =&\int_0^l\mathrm dx\int_0^\infty\left[G(x,-t;x'',-t'')\frac{\partial^2G(x,t;x',t')}{\partial t^2}-G(x,t;x',t')\frac{\partial^2 G(x,-t;x'',-t'')}{\partial t^2}\right]\mathrm dt\\ -&a^2\int_0^\infty\mathrm dt\int_0^l\left[G(x,-t;x'',-t'')\frac{\partial^2G(x,t;x',t')}{\partial x^2}-G(x,t;x',t')\frac{\partial^2 G(x,-t;x'',-t'')}{\partial x^2}\right]\mathrm dx\end{align*}\]分部积分后,
\[\begin{align*} \text{RHS}&=\int_0^l\left[G(x,-t;x'',-t'')\frac{\partial G(x,t;x',t')}{\partial t}-G(x,t;x',t')\frac{\partial G(x,-t;x'',-t'')}{\partial t}\right]_0^\infty\mathrm dx\\ &-a^2\int_0^\infty\left[G(x,-t;x'',-t'')\frac{\partial G(x,t;x',t')}{\partial x}-G(x,t;x',t')\frac{\partial G(x,-t;x'',-t'')}{\partial x}\right]_0^l\mathrm dt \end{align*}\]代入初始条件和边界条件, 容易得到 $\text{RHS}=0$, 因此 Green 函数成立空间上的对称性和时间上的倒易性
\[\boxed{G(x,t;x',t')=G(x',-t'; x, -t)}\]