球谐函数与连带 Legendre 函数
连带 Legendre 函数
引入 $\mu$ 而产生的变化
连带 Legendre 方程
\[\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[(1-x^2)\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right]+\left(\lambda - \frac{\mu}{1-x^2}\right)y=0\]与 Legendre 方程相比, 新引入的 $\mu$ 项并未改变系数是偶函数的事实, 因此仍然可以作 $x=r\cos\theta$; 然而 Legendre 方程的方程端点是正则奇点, 加入 $\mu$ 项之后奇点变得更强了.
Frobenius 指数: $\alpha=\pm m,\quad \mu=m^2$. 当 $m>0$ 时, 正则解在端点呈现行为 $(1-x^2)^{m/2}$. 若 $\mu$ 不是完全平方数, 则指数不是整数, 端点行为可能出现分支奇点.
在 $\mu=0$ 时, 谱是标准 Legendre 多项式, 解为 $\mathrm P_l(x)$, 这构成了 $L^2[-1,1]$ 上的完备正交基; 在 $\mu=m^2>0$ 时, 方程的可正规解变为我们接下来要介绍的连带 Legendre 函数, 其本征值虽然仍为 $\lambda=l(l+1)$, 但正交性完全变为固定 $m$ 的子空间上的正交, 即
\[\displaystyle \int_{-1}^1\mathrm P_l^m(x)\mathrm P_k^m(x)\mathrm dx=0\quad\forall l\neq k\]这意味着原本完整的正交基分裂成了许多相互独立但同构的子空间, 每个子空间由固定的 $m$ 组成. 换言之, 函数空间按照角动量分块了.
若 $\mu$ 不是完全平方数, 则通常也无法得到完备的正交函数系, 端点也无法形成正则解. 这时不再有标准谱结构, 物理上也不允许这样的解, 因为这使得 $\varphi$ 方向上失去了单值性.
从物理对称性上看, 完整的算子, 例如球面 Laplace 算子, 具有轴对称性 (即前面我们讨论过的与 $\varphi$ 无关), 而取 $\mu=m^2\neq 0$ 则选择了一个具体的角动量态, 完整的三维解为 $Y_l^m(\theta,\varphi)=\mathrm P_l^m(\cos\theta)\mathrm e^{\mathrm im\varphi}$, 选定的本征态不再轴对称了.
我们求解连带 Legendre 方程, 可以使用常微分方程的幂级数解法, 也可以寻找它和 Legendre 方程的关系. 其在 $z=\pm 1$ 的指标方程为
\[\rho(\rho - 1)+\rho-\frac{m^2}4=0\]所以指标 $\rho=\pm\dfrac m2$. 令 $w(z)=(1-z^2)^{m/2}v(z)$, 则 $v(z)$ 满足超球微分方程
\[(1-z)^2v''-2(m+1)zv'+[\lambda-m(m+1)]v=0\]这个方程是将 Legendre 方程微商 $m$ 次得到的, 可以利用数学归纳法证明这一点. 所以连带 Legendre 方程的解为
\[\boxed{w(z)=c_1w_1(z)+c_2w_2(z)}\]其中 $w_1(z)=(1-z^2)^{m/2}\mathrm P_\nu^{(m)}(z),\;w_2(z)=(1-z^2)^{m/2}\mathrm Q_\nu^{(m)}(z)$.
对于一般的 $\nu$, $\mathrm P_\nu(z)$ 是无穷级数. $\mathrm P_\nu(z)$ 在 $z=1$ 有界, 所以 $w_1(z)$ 在 $z=1$ 有界; $\mathrm P_\nu(z)$ 在 $z=-1$ 对数发散, 所以 $\mathrm P_\nu^{(m)}(z)$ 以 $z=-1$ 为 $m$ 阶极点, 所以 $w_1(z)$ 在 $z=-1$ 发散. 而 $\mathrm Q_\nu(z)$ 在 $z=\pm 1$ 都对数发散, 所以 $w_2(z)$ 在 $z=\pm 1$ 都发散. 因此要使 $y(1)$ 有界, 则必有 $c_2=0$; 要使 $y(-1)$ 有界, 则必有 $\nu-m\in\mathbb N$.
我们得到了连带 Legendre 方程的本征值
\[\lambda_l=l(l+1)\;\;l=m,m+1,m+2,\dots\]和本征函数
\[y_l(z)=c_1(1-z^2)^{m/2}\mathrm P_l^{(m)}(z)=\mathrm P_l^m(z)\]此即 $m$ 阶 $l$ 次连带 Legendre 函数.
连带 Legendre 函数的性质
连带 Legendre 函数具有正交性, 即相同阶但不同次的连带 Legendre 函数在区间 $[-1,1]$ 正交. 可以从本征值问题或多项式积分性质出发证明这一点.
方法一: 从本征值方程出发
连带 Legendre 方程的自伴形式为:
\[\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[(1-x^2)\frac{\mathrm d\mathrm P_l^m}{\mathrm dx}\right] + \left[ l(l+1) - \frac{m^2}{1-x^2} \right]\mathrm P_l^m = 0\]分别写出 $l$ 和 $k$ 的方程, 交叉乘以 $\mathrm P_k^m$ 和 $\mathrm P_l^m$ 后相减, 并在 $[-1,1]$ 上积分:
\[\int_{-1}^1 \left\{ \mathrm P_k^m\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[(1-x^2)\frac{\mathrm d\mathrm P_l^m}{\mathrm dx}\right] - \mathrm P_l^m\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[(1-x^2)\frac{\mathrm d\mathrm P_k^m}{\mathrm dx}\right] \right\}\mathrm dx + [l(l+1)-k(k+1)]\int_{-1}^1 \mathrm P_l^m\mathrm P_k^m\mathrm dx = 0\]对方括号内的前两项运用分部积分, 会发现积分结果完全抵消, 只剩边界项 $(1-x^2)\left( \mathrm P_k^m\dfrac{\mathrm d\mathrm P_l^m}{\mathrm dx} - \mathrm P_l^m\dfrac{\mathrm d\mathrm P_k^m}{\mathrm dx} \right) \bigg\vert_{-1}^1$, 在 $x=\pm 1$ 处该项为 $0$. 故
\[(l(l+1)-k(k+1))\int_{-1}^1 \mathrm P_l^m\mathrm P_k^m\mathrm dx = 0\]当 $l \neq k$ 时, 必然有正交性成立.
方法二: 利用 Legendre 多项式的正交性展开
根据定义, 不失一般性设 $k < l$, 积分可写为:
\[\int_{-1}^1 \mathrm P_l^m(x)\mathrm P_k^m(x)\mathrm dx = \int_{-1}^1 (1-x^2)^m \frac{\mathrm d^m\mathrm P_l(x)}{\mathrm dx^m}\frac{\mathrm d^m\mathrm P_k(x)}{\mathrm dx^m}\mathrm dx\]将其进行 $m$ 次分部积分. 每次产生的边界项中始终含有 $(1-x^2)$ 因子而为 $0$. 微商项全部转移到另一侧:
\[= (-1)^m \int_{-1}^1 \mathrm P_l(x) \frac{\mathrm d^m}{\mathrm dx^m}\left[ (1-x^2)^m \frac{\mathrm d^m \mathrm P_k(x)}{\mathrm dx^m} \right]\mathrm dx\]分析被积函数中的 $\dfrac{\mathrm d^m}{\mathrm dx^m}\left[ (1-x^2)^m \dfrac{\mathrm d^m \mathrm P_k(x)}{\mathrm dx^m} \right]$ 项. 首先 $\mathrm P_k$ 求 $m$ 阶导后是 $k-m$ 次多项式; 乘以极值多项式 $(1-x^2)^m$ 变为 $k+m$ 次多项式; 再求 $m$ 阶导后变回一个 $k$ 次多项式. 由于 $\mathrm P_l(x)$ 正交于一切次数低于 $l$ 的多项式 (即 $\displaystyle\int_{-1}^1 x^k\mathrm P_l(x)\mathrm dx=0\text{ if }k<l$), 且 $k<l$, 因此该积分必为 $0$.
将连带 Legendre 函数的正交性和模方进行合并, 可以得到
\[\int_{-1}^1\mathrm P_k^m(x)\mathrm P_l^m(x)\mathrm dx=\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\frac{2}{2l+1}\delta_{kl}\]这也可以写作
\[\int_0^\pi\mathrm P_k^m(\cos\theta)\mathrm P_l^m(\cos\theta)\sin\theta\mathrm d\theta=\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\frac{2}{2l+1}\delta_{kl}\]换言之, $\mathrm P_k^m(\cos\theta)$ 和 $\mathrm P_l^m(\cos\theta)$ 在区间 $[0,\pi]$ 上以权函数 $\sin\theta$ 正交. 这里的权函数, 恰好就是微分方程
\[\frac{\mathrm d}{\mathrm d\theta}\left(\sin\theta\frac{\mathrm d\Theta}{\mathrm d\theta}\right)+\left(\lambda-\frac{m^2}{\sin^2\theta}\right)\sin\theta\Theta=0\]中本征值 $\lambda$ 后的 $\sin\theta$.
注意到当 $m$ 换成 $-m$ 时, 连带 Legendre 方程不改变, 因此猜想存在解
\[\mathrm P_l^{-m}(x)=(-1)^m\frac{(1-x^2)^{-m/2}}{2^ll!}{\mathrm d^{l-m}}{\mathrm dx^{l-m}}(x^2-1)^l\]实际上这个解并不是独立的. 它满足
\[\mathrm P_l^{-m}(x)=(-1)^m\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\mathrm P_l^m(x)\]证明这个关系的关键在于计算 $\displaystyle\frac{\mathrm d^{l+m}}{\mathrm dx^{l+m}}(x^2-1)^l$. 应用 Leibniz 公式, 有
\[\begin{align*} \frac{\mathrm d^{l+m}}{\mathrm dx^{l+m}}(x^2-1)^l&=\sum_{k=0}^{l+m}\binom{l+m}{k}\frac{\mathrm d^k(x-1)^l}{\mathrm dx^k}\frac{\mathrm d^{l+m-k}(x+1)^l}{\mathrm dx^{l+m-k}}\\ &=\sum_{k=m}^{l}\binom{l+m}{k}\frac{l!}{(l-k)!}(x-1)^{l-k}\cdot\frac{l!}{(k-m)!}(x+1)^{k-m}\\ &=l!^2\sum_{k=m}^{l}\binom{l+m}{k}\frac{(x-1)^{l-k}(x+1)^{k-m}}{(l-k)!(k-m)!}\\ &=l!^2\sum_{j=0}^{l-m}\binom{l+m}{j+m}\frac{(x-1)^{l-m-j}(x+1)^{j}}{(l-m-j)!j!}\\ &=(-1)^m\frac{(l+m)!}{(l-m)!}(1-x^2)^{-m}l!^2\sum_{j=0}^{l-m}\binom{l-m}{j}\frac{(x-1)^{l-j}(x+1)^{m+j}}{(l-j)!(m+j)!}\\ &=(-1)^m\frac{(l+m)!}{(l-m)!}(1-x^2)^{-m}\frac{\mathrm d^{l-m}(x^2-1)^l}{\mathrm dx^{l-m}} \end{align*}\]进一步考虑二者定义, 可以得到对应关系.
利用 $\mathrm P_l^{-m}(x)$ 可以把正交归一关系改写为
\[\int_{-1}^1\mathrm P_l^m(x)\mathrm P_{l'}^{-m}(x)\mathrm dx=(-1)^m\frac{2}{2l+1}\delta_{ll'}\]连带 Legendre 方程对应的本征值问题当中, 如果取 $\nu = l$ 不变, 则看作关于本征值 $m^2$ 的本征值问题, 此时连带 Legendre 函数仍然是本征值问题的解, 所以可以讨论本征函数的正交性. 成立如下正交-模方关系:
\[\int_{-1}^1\mathrm P_l^m\mathrm P_l^{m'}\frac{\mathrm dx}{1-x^2}=\frac1m\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\delta_{mm'}\] \[\int_{-1}^1\mathrm P_l^m\mathrm P_l^{-m'}\frac{\mathrm dx}{1-x^2}=\frac{(-1)^m}{m}\delta_{mm'}\]然而很遗憾的是, 保持 $l$ 不变的连带 Legendre 函数并不能构成一个正交完备集.
球谐函数
以上我们已经得到了 $\Theta(\theta)=\mathrm P_l^m(\cos\theta)$. 结合方位角方向的 $\displaystyle\frac{\mathrm d^2\Phi}{\mathrm d\varphi^2}+m^2\Phi=0$, 解为 $\Phi(\varphi)=\mathrm e^{\mathrm im\varphi}$, 合成为球面上的函数
\[\mathrm Y_l^m(\theta,\varphi)=C_{lm}\mathrm P_l^m(\cos\theta)\mathrm e^{\mathrm im\varphi}\]这里的 $C_{lm}$ 的选取用于保证球谐函数在球面上的正交归一性
\[\int_0^{2\pi}\int_0^\pi|\mathrm Y_l^m(\theta,\varphi)\vert^2\sin\theta\mathrm d\theta\mathrm d\varphi=1\]常用的归一化系数 $\displaystyle C_{lm}=(-1)^m\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}$, 因此标准归一化球谐函数为
\[\mathrm Y_l^m(\theta,\varphi)=(-1)^m\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_l^m(\cos\theta)\mathrm e^{\mathrm im\varphi}\]值得注意的是, 不同的文献中, $\mathrm Y_l^m$ 通常有不同的定义, 采取的相位规定不同, 需要仔细核对, 此处采用的是吴崇试 - LYS 的版本.