三类偏微分方程
我有一个学物理的愿望, 奈何天分、努力都不足, 最终一事无成. 还是把它当作一种爱好, 在此处整理一些笔记, 从数学基础开始, 也算是了却了高中时代的心愿.
双曲型方程
这类方程以波动方程为典型代表.
弦的横振动
考虑一根绷紧的, 线密度为 $\rho$ 的柔软弦, 在扰动之下作小幅度横振动. 用 $u(x,t)$ 表示 $x$ 位置的质元在 $t$ 时刻偏离平衡位置的位移. 考察 $x$ 位置处 $\mathrm dx$ 长度的一小段弦, 对其列出条件:
- $x$ 方向不移动. 即 $T_x\cos\theta_x = T_{x+\mathrm dx}\cos\theta_{x+\mathrm dx}$.
- $u$ 方向满足动力学方程 $T_{x+\mathrm dx}\sin\theta_{x+\mathrm dx}-T_x\sin\theta_x=\rho\mathrm dx\dfrac{\partial^2u}{\partial t^2}$.
由于是微振动, 满足条件 $\theta_x\to 0$, $\theta_{x+\mathrm dx}\to 0$, 故而有 $\cos\theta_x\approx\cos\theta_{x+\mathrm dx}\approx 1$, $\sin\theta_x\approx\tan\theta_x$, 从而可以认为 $T_x\approx T_{x+\mathrm dx}$, 即弦上各处张力在同一时间保持相等. 因此 $u$ 方向的动力学方程可以写作
\[T(t)(\tan\theta_{x+\mathrm dx}-\tan\theta_x)=\rho\mathrm dx\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\]进一步地, 利用一阶近似 $(1+x)^\alpha\approx 1+\alpha x$, 考虑小段弦的伸长量 $\sqrt{\mathrm du^2+\mathrm dx^2}-\mathrm dx=\mathrm dx\left(1+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\mathrm du}{\mathrm dx}\right)^2-1\right)$ 为高阶小量, 所以可以认为弦的伸长量不随时间变化, 即弦各处的张力不随时间变化, 亦即 $T\equiv C$.
注意到 $\tan\theta_x=\dfrac{\partial u}{\partial x}\bigg\vert_x$, 两边除 $\mathrm dx$, 有 $T\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\rho\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}$, 整理作
\[\boxed{\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac T\rho\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0}\quad或\quad\boxed{\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0}\]此处 $\sqrt{\dfrac{T}{\rho}}$ 的意义为波速.
特别地, 如果为受迫振动, 记单位长度受力为 $f$, 则得到的动力学方程可以写作
\[T(\tan\theta_{x+\mathrm dx}-\tan\theta_x)+f\mathrm dx=\rho\mathrm dx\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\]整理得到的形式为
\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\frac T\rho\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac f\rho\]
杆的纵振动
考虑一根弹性细杆, 体密度为 $\rho$, 假定拉伸下在垂直杆的方向上不发生形变, 横截面积为 $S$. 考察 $x$ 位置处长度为 $\mathrm dx$ 的质元, 当它发生位移 $u(x,t)$ 时, 微元两端的位移差为
\[\mathrm du = u(x+\mathrm dx)-u(x)\approx \frac{\partial u}{\partial x}\mathrm dx\]记单位面积受力为 $p(x,t)$, 列出动力学方程
\[\left[p(x+\mathrm dx, t)-p(x,t)\right]S=\rho S\mathrm dx\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\]即
\[\rho \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial p}{\partial x}\]根据 Hooke 定律, $\displaystyle p\vert_x=E\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}\bigg\vert_x=E\frac{\partial u}{\partial x}\bigg\vert_x$, 其中 $E$ 为杆的杨氏模量. 整理得到
\[\boxed{\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac E\rho\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}\]以上两个方程具有相同的形式. 根据矢量叠加, 不难将其推广至三维情形, 此时引入 Laplace 算符, 可以统一整理为
\[\boxed{\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\nabla^2 u}\]统称为波动方程.
抛物型方程
这类方程以热传导方程为典型代表.
首先介绍 Fourier 热传导定律:
对连续、各向同性均匀介质的温度 $u(x,y,z,t)$, 温度场梯度 $\displaystyle \nabla u$ 与传热 $\boldsymbol q$ 满足关系 $\boldsymbol q=-k\nabla u$. 若介质为各向异性的, 则改写为 $\boldsymbol q=-\mathbf K\nabla u$, 其中 $\mathbf K$ 是一个对称二阶张量.
考虑一块各向同性的均匀介质, 体密度为 $\rho$, 比热容为 $c$. 在其中隔离出一块长方体 $\mathrm dV$,
沿 $x$ 方向流入热量为
\[(q_x\vert_x-q_x\vert_{x+\mathrm dx})\mathrm dy\mathrm dz\mathrm dt=-\frac{\partial q}{\partial x}\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\mathrm dt\]同理, 沿着 $y$, $z$ 方向流入的热量分别为
\[-\frac{\partial q}{\partial y}\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\mathrm dt, -\frac{\partial q}{\partial z}\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\mathrm dt\]加以长方体内产生的热量 $F(x,y,z,t)$, 根据能量守恒可得
\[(-\nabla\cdot\boldsymbol q+F)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\mathrm dt=\rho\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\cdot c\cdot \mathrm du\]即
\[\boxed{-\nabla\cdot\boldsymbol q+F=\frac{\partial(\rho cu)}{\partial t}}\]此方程常被称作连续性方程.
进一步地, 由于介质均匀且各向同性, 可以使用 Fourier 定律, 得到
\[-k\nabla^2 u+\frac{\partial (\rho cu)}{\partial t}=F\]从而
\[\boxed{\frac{\partial u}{\partial t}-\kappa\nabla^2 u=\frac{F}{\rho c}=f}\]其中 $\kappa=\dfrac{k}{\rho c}$ 称为扩散率.
类似地, 对于分子的扩散, 其机理与热传导是相似的. 从而容易得到扩散方程
\[\frac{\partial u}{\partial t}-D\nabla^2 u=f\]其中 $D$ 为扩散率, $f$ 是单位体积某时间的分子产率.
椭圆型方程
- 在热传导方程的基础上, 温度分布若达到稳态, 应当满足 $\dfrac{\partial u}{\partial t}=0$, 即 $\nabla^2 u = -\dfrac{f}{\kappa}$. 特别地, 若 $f\equiv 0$, 立即得到
此即 Laplace 方程, 它反映了静态无源场的性质.
- 静电场中满足关系 $\boldsymbol E=-\nabla U$, 又由 Gauss 定律 $\nabla\cdot\boldsymbol E = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$, 可以得到 Poisson 方程
它反映了静态有源场的性质.
- 对于波动方程 $\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\nabla^2 u = 0 $, 进行分离变量 $u(x,y,z,t) = v(x,y,z)\mathrm e^{-\mathrm i\omega t}$ (此处负号保证正向时间传播), 可以得到 \(-\omega^2v\mathrm e^{-\mathrm i\omega t}-a^2\nabla^2 v\mathrm e^{-\mathrm i\omega t} = 0\)
即 Helmholtz 方程
\[\nabla^2 v+\left(\frac{\omega}{a}\right)^2v=0\]名称的学问
考虑一个二维二阶线性偏微分方程的主项部分:
\[A\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+B\frac{\partial^2 u}{\partial xy}+C\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+(\text{Low Order Terms}) = F(x,y)\]定义判别式 $\Delta = B^2-AC$, 根据 $\Delta$ 的符号, 可以分为三类:
- 若 $\Delta < 0$, 方程为椭圆型方程, 在所有方向上 “符号一致”, 传播没有特定方向. 这类方程对应静态平衡问题, 解在整个区域内平滑且受到边界控制.
- 若 $\Delta = 0$, 方程为抛物型方程, 有唯一的退化方向, 对应扩散过程, 状态随着时间演化趋于平衡.
- 若 $\Delta >0$, 方程为双曲型方程, 有两个实特征方向, 表明有波沿着特定的方向传播, 对应传播型动力过程.
这与二次曲线 $Ax^2+2Bxy+Cy^2=1$ 的分类条件一致, 若令 $A\xi^2+2B\xi\eta+C\eta^2=1$, 则三种方程的条件分别对应了椭圆, 抛物线和双曲线.