非齐次条件下的分离变量法
以上讨论全部是方程和边界条件齐次的情形. 对于非齐次的方程或非齐次的边界条件, 我们的主要思想应当为齐次化.
方程非齐次的情形
为了突出方程非齐次, 我们考虑两端固定弦的受迫振动. 考虑如下的定解问题
\[\begin{cases} \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=f(x,t) & 0<x<l, t>0\\ u\vert_{x=0}=0,\quad u\vert_{x=l}=0&t\ge 0\\ u\vert_{t=0}=0\quad \dfrac{\partial u}{\partial t}\bigg\vert_{t=0}=0&0\le x\le l \end{cases}\]此处介绍两种方法.
方程及边界条件同时齐次化
联想到我们解一阶线性非齐次常微分方程的经验, 令 $u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)$, 其中 $w$ 是线性方程的通解, $v$ 则是满足非齐次条件的特解, 不要求其满足初始条件. 这样一来, 我们把由非齐次项带来的复杂性隔离开, 使条件匹配问题回到齐次情形下的线性代数问题.
因此我们得到了
\[\begin{cases} \dfrac{\partial^2 v}{\partial t^2}-a^2\dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2}=f(x,t)\\ v\vert_{x=0}=0,\quad v\vert_{x=l}=0 \end{cases}\]和
\[\begin{cases} \dfrac{\partial^2 w}{\partial t^2}-a^2\dfrac{\partial^2 w}{\partial x^2}=0\\ w\vert_{x=0}=0,\quad w\vert_{x=l}=0 \end{cases}\]前者对初始条件没有要求, 所以解存在且不唯一, 只需在可能的条件下选择一个相对容易求解的 $v(x,t)$. 而 $w$ 在满足齐次方程和齐次边界条件之外, 还需要满足初始条件
\[\begin{cases} w\vert_{t=0}&=\color{red}{-v\vert_{t=0}}\\ \dfrac{\partial w}{\partial t}\bigg\vert_{t=0}&=\color{red}{-\dfrac{\partial v}{\partial t}\bigg\vert_{t=0}} \end{cases}\]一旦求得了 $v(x,t)$, 就可以求出 $w(x,t)$ 的一般解, 然后根据初始条件定出叠加系数 $C_n$ 和 $D_n$
\[\begin{cases} \displaystyle C_n=-\frac{2}{n\pi a}\int_0^l\frac{\partial v(x,t)}{\partial t}\bigg\vert_{t=0}\sin\frac{n\pi}{l}x\mathrm dx\\ \displaystyle D_n=-\frac{2}{l}\int_0^lv(x,0)\sin\frac{n\pi}{l}x\mathrm dx \end{cases}\]再将 $v$ 和 $w$ 相加得到 $u$.
按相应齐次问题的本征函数展开
如果方程非齐次项 $f(x,t)$ 的形式相对比较简单, 那么可能求得合适的特解; 但一般情况下非齐次项比较复杂, 我们很难求得这个特解.
我们会求的方程 (集合) 测度为0! ——Y. S. Li
对于一个比较复杂的函数, 我们很容易联想到用级数进行展开; 幂级数和 Fourier 级数都是我们研究一些函数的优秀工具. 自然地, 可以设法找到一组本征函数 ${X_n(x)}$, 只要这组本征函数是完备的, 就可以将解 $u(x,t)$ 及非齐次方程的非齐次项 $f(x,t)$ 均按照本征函数展开, 得到
\[\begin{cases} \displaystyle u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}T_n(t)X_n(x)\\ \displaystyle f(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}g_n(t)X_n(x)\end{cases}\]然后代入方程设法求出 $T_n(t)$ 即可, 最简单的做法是选择 $X_x(x)$ 为相应齐次定解问题的本征函数.
两种方法的比较
我们以一道具体的题目来看这两种方法的差异. 考虑定解问题
\[\begin{cases} \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=A_0\sin\omega t&\quad0<x<l,\;t>0\\ u\vert_{x=0} = 0, \quad u\vert_{x=l} =0&\quad t\ge 0\\ u\vert_{t=0} = 0,\quad \dfrac{\partial u}{\partial t}\bigg\vert_{t=0}=0 &\quad 0\le x\le l \end{cases}\]暂时不考虑 $\omega$ 导致的共振情形.
a. 方程与边界条件同时齐次化.
令 $u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)$, 其中 $v$ 是非齐次特解, 不需要满足初始条件, $w$ 是齐次通解, 需要满足初始条件. 分离变量之后观察原始偏微分方程的形式, 令 $v(x,t)=f(x)\sin\omega t$, 得到
\[-\omega^2f(x)\sin\omega t-a^2f^"(x)\sin\omega t=A_0\sin\omega t\implies a^2f^"(x)+w^2f(x)+A_0=0\]这个二阶 ODE 的解为 $f(x)=-\dfrac{A_0}{\omega^2}+B\cos\dfrac{\omega}{a}x+C\sin\dfrac{\omega}{a}x$. 利用边界条件, 可以定出
\[\begin{cases} B=\dfrac{A_0}{\omega^2}\\ C=\dfrac{1}{\sin\frac{\omega l}{a}}\dfrac{A_0}{\omega^2}\left(1-\cos\dfrac{\omega l}{a}\right)=\dfrac{A_0}{\omega^2}\tan\dfrac{\omega l}{2a} \end{cases}\]关于 $w(x,t)$ 的定解问题为
\[\begin{cases} \dfrac{\partial^2 w}{\partial t^2}-a^2\dfrac{\partial^2 w}{\partial x^2}=0\\ w\vert_{x=0}=0,\quad w\vert_{x=l}=0\\ w\vert_{t=0}=\color{red}{-v\vert_{t=0}=0},\quad \dfrac{\partial w}{\partial t}\bigg\vert_{t=0}=\color{red}{-\frac{\partial v}{\partial t}\bigg\vert_{t=0}=-\omega f(x)} \end{cases}\]经过前期的大量例子, 我们立即得到
\[w(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(C_n\cos\frac{n\pi a}{l}t+D_n\sin\frac{n\pi a}{l}t\right)\sin\frac{n\pi}{l}x\]依据初始值可以得到
\[C_n=0\]依据初始导数值, 可以得到
\[D_n=\frac{2A_0\omega l^3}{\pi^2 a}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\frac{1}{(\omega l)^2-(n\pi a)^2}\]当 $n$ 为奇数时 $w$ 才不为 $0$, 因此可以得到
\[w(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4A_0\omega l^3}{(2n+1)^2\pi^2 a}\frac{1}{[(2n+1)\pi]^2-(\omega l)^2}\sin\frac{(2n+1)\pi x}{l}\sin\frac{(2n+1)\pi at}{l}\]从而
\[\begin{align*} u(x,t)=&-\frac{A_0}{\omega^2}+\frac{A_0}{\omega^2}\cos\frac{\omega}{a}x+\left(\frac{A_0}{\omega^2}\tan\frac{\omega l}{2a}\right)\sin\frac{\omega}{a}x\\ &+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4A_0\omega l^3}{(2n+1)^2\pi^2 a}\frac{1}{[(2n+1)\pi]^2-(\omega l)^2}\sin\frac{(2n+1)\pi x}{l}\sin\frac{(2n+1)\pi at}{l} \end{align*}\]b. 按相应齐次问题的本征函数展开.
将 $u(x,t)$ 和 $f(x,t)$ 按照本征函数 $\displaystyle\left\lbrace\sin\frac{n\pi x}{l}\right\rbrace$ 展开
\[\begin{cases} \displaystyle u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}T_n(t)\sin\frac{n\pi}{l}x\\ \displaystyle A_0\sin\omega t=\frac{2A_0}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n}\sin\frac{n\pi}{l}x\sin\omega t \end{cases}\]其中利用了 $\displaystyle 1=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2[1-(-1)^k]}{k\pi}\sin\frac{k\pi}{l}x$.
代入方程导出 $T_n(t)$ 满足的微分方程
\[T^"_n(t)+\left(\frac{n\pi a}{l}\right)^2T_n(t)=\frac{2A_0}{\pi}\frac{1-(-1)^n}{n}\sin\omega t\]$T(t)$ 满足初始条件 $T(0)=0$, $T’(0)=0$, 采用待定系数法, 设 $\omega_n = \dfrac{n\pi a}{l}$, $F_n=\dfrac{2A_0}{\pi}\dfrac{1-(-1)^n}{n}$, 取 $T_n=A\sin\omega t$, 得到
\[A=\frac{F_n}{\omega_n^2-\omega^2}=\frac{2A_0[1-(-1)^n]}{n\pi}\frac{1}{\left(\frac{n\pi a}{l}\right)^2-\omega^2}=\frac{2A_0[1-(-1)^n]l^2}{n\pi}\frac{1}{(n\pi a)^2-(\omega l)^2}\]从而
\[T(t)=\frac{2A_0[1-(-1)^n]l^2}{n\pi}\frac{1}{(n\pi a)^2-(\omega l)^2}\sin\omega t+C\cos\frac{n\pi a}{l}t+D\sin\frac{n\pi a}{l}t\]代入初始条件得到
\[C=0\] \[D =-\frac{2A_0\omega[1-(-1)^n]l^3}{n^2\pi^2a}\frac{1}{(n\pi a)^2-(\omega l)^2}\]最后定解问题的解同样为
\[\begin{align*} u(x,t)=&-\frac{A_0}{\omega^2}+\frac{A_0}{\omega^2}\cos\frac{\omega}{a}x+\left(\frac{A_0}{\omega^2}\tan\frac{\omega l}{2a}\right)\sin\frac{\omega}{a}x\\ &+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4A_0\omega l^3}{(2n+1)^2\pi^2 a}\frac{1}{[(2n+1)\pi]^2-(\omega l)^2}\sin\frac{(2n+1)\pi x}{l}\sin\frac{(2n+1)\pi at}{l} \end{align*}\]特别地, 考虑 $\displaystyle\omega = \frac{(2m+1)\pi a}{l},\; m\in\mathbb Z$ 时, 得到的分母为 $0$, 即物理意义上的共振解. 这说明
\[\displaystyle T(t)=-\frac{F_n}{2\omega_n}t\cos(\omega_nt)+C\cos\omega_nt+D\sin\omega_nt\]
- 若采用同时齐次化的方法, 则我们 $v(x, t)=f(x)\sin\omega t$ 的形式不正确, 应该设为 $v(x, t)=f(x)t\sin\omega t$. 或者也可以采用另外一种处理方法, 即直接利用 L’Hôpital 法则, 直接取极限.
- 若采用按本征函数展开的方法, 则待定系数需要乘以 $t$, 取特解 $T_p(t)=t(\alpha\cos\omega_n t+\beta\sin\omega_n t)$, 代入解得 $\beta = 0$, $\displaystyle\alpha = -\frac{F_n}{2\omega_n}$. 所以特解为线性增长项 $\displaystyle T_p(t)=-\frac{F_n}{2\omega_n}t\cos(\omega_nt)$, 通解为
边界条件非齐次的情形
非齐次的边界条件不能分离变量, 只有满足齐次方程和齐次边界条件的特解叠加起来才仍能满足齐次方程和齐次边界条件.
为了突出非齐次边界的条件, 考虑定解问题
\[\begin{cases} \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0&\quad0<x<l,\;t>0\\ u\vert_{x=0} = \mu(t), \quad u\vert_{x=l} =\nu(t)&\quad t\ge 0\\ u\vert_{t=0} = 0,\quad \dfrac{\partial u}{\partial t}\bigg\vert_{t=0}=0 &\quad 0\le x\le l \end{cases}\]此时我们令 $u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)$, 唯一的要求是使得 $w(x,t)$ 满足齐次边界条件和偏微分方程, 原则上对于 $v(x,t)$ 是否满足方程以及 $t=0$ 时的函数形式没有要求.
因此 $v$ 的选择变得非常简单: 曲线 $y=v(x,t)$ 通过给定的两点 $(0,\mu(t))$ 和 $(l,\nu(t))$, 可以取直线 $v(x,t)=A(t)(l-x)+B(t)x$, 也可以取抛物线 $v(x,t)=A(t)(l-x)^2+B(t)x^2$, 具体的取法视题目而定, 总之会得到方程不一定齐次且边界条件齐次的关于 $w$ 的定解问题.
这样虽然 $w(x,t)$ 的结果可能有些混乱, 但由于解的存在唯一性, 最后给出的 $u(x,t)$ 必定是相同的, 即便表达形式可能不同.
特殊技巧: 方程及边界条件同时齐次化
我们不妨思考一下: 如何选择 $v$, 达到最理想的情况, 即得到关于 $w$ 的方程也是齐次的? 对于某些特殊的 $\mu(t)$ 和 $\nu(t)$ 可以做到这一点.
例如, 考虑定解问题
\[\begin{cases} \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0&0<x<l,\; t>0\\ u\vert_{x=0}=0\quad\dfrac{\partial u}{\partial x}\bigg\vert_{x=l}=A\sin\omega t&t\ge 0\\ u\vert_{t=0}=0\quad \dfrac{\partial u}{\partial t}\bigg\vert_{t=0}=0&0\le x\le l \end{cases}\]考虑到非齐次边界条件的具体形式, 取齐次化函数为 $v(x,t)=f(x)\sin\omega t$, 代入方程得到
\[\begin{cases}\dfrac{\partial^2 v}{\partial t^2}-a^2\dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2}=0\\ v\vert_{x=0}=0\quad \dfrac {\partial v}{\partial x}\bigg\vert_{x=l}=A\sin\omega t \end{cases}\]从而可以解出
\[\begin{cases} f(x)=\dfrac{Aa}{\omega}\dfrac{1}{\cos\frac{\omega l}{a}}\sin\dfrac{\omega x}{a}\\ v(x,t) =\dfrac{Aa}{\omega}\dfrac{1}{\cos\frac{\omega l}{a}}\sin\dfrac{\omega x}{a}\sin\omega t \end{cases}\]此时 $w$ 满足
\[\begin{cases} \dfrac{\partial^2 w}{\partial t^2}-a^2\dfrac{\partial^2 w}{\partial x^2}=0\\ w\vert_{x=0}=0\quad \dfrac{\partial w}{\partial x}\bigg\vert_{x=l}=0\\ w\vert_{t=0}=0\quad\color{red}{\dfrac{\partial w}{\partial t}\bigg\vert_{t=0}=-\dfrac{Aa}{\cos\frac{\omega l}{a}}\sin\frac{\omega}{a}x} \end{cases}\]$w$ 的一般解为
\[w(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(C_n\cos\frac{(2n+1)\pi at}{2l}+D_n\sin\frac{(2n+1)\pi at}{2l}\right)\sin\frac{(2n+1)\pi x}{2l}\]根据初始条件, 可以定出
\[C_n=0\] \[D_n=\frac{(-1)^n16Aa\omega l^2}{(2n+1)\pi[4\omega^2l^2-(2n+1)^2\pi^2a^2]}\]