群, 环, 域

机缘巧合让我在这个学期的中间部分接触到了 Jean Gallier and Jocelyn Quaintance 的 Algebra, Topology, Differential Calculus, and Optimization Theory For Computer Science and Machine Learning 这本书. 过去两年的本科教育就像走马观花一样, 我认为自己并没有打下一个良好的基础, 这也许归咎于我从离开了高中之后失去了约束自己的能力. 假设这本书早一些面世, 也许我会少浪费一些时间.
因此我将发扬抄书的精神, 在此处整理一些笔记, 以期能够给我千疮百孔的基础进行一些修修补补.

群, 子群, 陪集

群 (Group) 是一个集合 $G$ 配备了一个二元运算 $\cdot: G\times G\to G$ 的代数结构 $(G, \cdot)$, 满足以下条件:

1. 结合律: 对于所有 $a, b, c \in G$, 有 $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
2. 单位元: 存在一个元素 $e \in G$, 使得对于所有 $a \in G$, 有 $e \cdot a = a \cdot e = a$.
3. 逆元: 对于每个 $a \in G$, 存在一个元素 $a^{-1} \in G$, 使得 $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$.

如果群满足交换律, 则称为阿贝尔群 (Abelian group).

如果一个集合仅满足结合律和单位元, 则称其为幺半群 (Monoid) . 如果一个集合仅满足结合律, 则称其为半群 (Semigroup).

一些例子.

1. 整数集合 $\mathbb{Z}$ 配备加法运算 $(\mathbb{Z}, +)$ 是一个阿贝尔群, 其中单位元为 $0$, 每个整数 $n$ 的逆元为 $-n$.
2. 有理数集合 $\mathbb{Q}$ 配备加法运算 $(\mathbb{Q}, +)$ 是一个阿贝尔群, 其中单位元为 $0$, 每个有理数 $q$ 的逆元为 $-q$. 对于非零有理数集合 $\mathbb{Q}^* = \mathbb{Q} \setminus {0}$ 配备乘法运算 $(\mathbb{Q}^*, \cdot)$ 也是一个阿贝尔群, 其中单位元为 $1$, 每个非零有理数 $q$ 的逆元为 $\frac{1}{q}$.
3. 设 $S$ 是一个非空集合, 则 $S$ 上所有双射 $f: S \to S$ 的集合, 也称为 $S$ 的置换 (permutation), 在函数复合下构成一个群. 这里两个置换 $f$ 和 $g$ 的乘法定义为复合 $g \circ f$, 单位元是恒等映射 $\mathrm{id}_S$. 当 $S$ 中至少有三个元素时, 这个群一般不是阿贝尔群. 若 $S = {1, \ldots, n}$, 则其置换群通常记为 $S_n$, 称为 $n$ 元对称群 (symmetric group).
4. 对任意正整数 $p \in \mathbb{N}$, 可以在整数集合 $\mathbb{Z}$ 上定义同余关系 $m \equiv n \pmod p$, 其含义是 $m - n = kp$ 对某个 $k \in \mathbb{Z}$ 成立. 很容易验证这是一种等价关系, 而且它与加法和乘法相容: 若 $m_1 \equiv n_1 \pmod p$ 且 $m_2 \equiv n_2 \pmod p$, 则 $m_1 + m_2 \equiv n_1 + n_2 \pmod p$, 并且 $m_1 m_2 \equiv n_1 n_2 \pmod p$. 因此, 我们可以在等价类集合上定义加法和乘法: $[m] + [n] = [m+n]$, $[m] \cdot [n] = [mn].$ 同余类在加法下构成一个阿贝尔群, 其中零元是 $[0]$. 这个群记作 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.
5. 一元实系数多项式集合 $\mathbb{R}[X]$ 在多项式加法下构成一个阿贝尔群. 其中单位元是零多项式.
6. 所有 $n \times n$ 的可逆实矩阵 (或复矩阵) 在矩阵乘法下构成一个群, 单位元是单位矩阵 $I_n$. 这个群称为一般线性群, 通常记作 $GL(n, \mathbb{R})$ (或 $GL(n, \mathbb{C})$).
7. 所有 $n \times n$ 的可逆实矩阵 (或复矩阵) 中满足 $\det(A) = 1$ 的矩阵, 在矩阵乘法下构成一个群, 单位元是单位矩阵 $I_n$. 这个群称为特殊线性群, 通常记作 $SL(n, \mathbb{R})$ (或 $SL(n, \mathbb{C})$).
8. 所有满足 \(QQ^\top = Q^\top Q = I_n\) 的 $n \times n$ 实矩阵 $Q$, 在矩阵乘法下构成一个群, 单位元是单位矩阵 $I_n$, 并且有 $Q^{-1} = Q^\top$. 这个群称为正交群, 通常记作 $O(n)$.
9. 所有满足 \(QQ^\top = Q^\top Q = I_n \quad \text{且} \quad \det(Q) = 1\) 的 $n \times n$ 可逆实矩阵 $Q$, 在矩阵乘法下构成一个群, 单位元是单位矩阵 $I_n$, 并且有 $Q^{-1} = Q^\top$. 这个群称为特殊正交群, 也称为旋转群, 通常记作 $SO(n)$.

(6) 至 (9) 中的群在 $n > 2$ 时都不是阿贝尔群. $SO(2)$ 是阿贝尔群, 而 $O(2)$ 不是阿贝尔群.