球函数与 Legendre 多项式

我们将 Helmholtz 方程在球坐标系下分离变量, 得到了连带 Legendre 方程

\[\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[(1-x^2)\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right]+\left(\lambda - \frac{\mu}{1-x^2}\right)y=0\]

和 Legendre 方程

\[\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[(1-x^2)\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right]+l(l+1)y=0\]

在求出 Legendre 方程的解的具体形式之前, 事先就可以对 Legendre 方程的解作出以下判断:

• Legendre 方程有三个奇点: $\pm 1,\infty$, 并且都是正则奇点. 因此除了这三个点之外, Legendre 方程的解在全平面是解析的.
• $z=0$ 的点是 Legendre 方程的常点, 因此方程的解在以 $z=0$ 点为圆心的单位圆 $\vert z\vert<1$ 内解析, 可以展开为 Taylor 级数.

---

Legendre 方程的解

我们已经求出了 Legendre 方程在 $z=0$ 邻域内的两个线性无关解 $w(z)=c_0w_1(z)+c_1w_2(z)$

\[\begin{cases} \displaystyle w_1(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^{2k}}{(2k)!}\frac{\Gamma\left(k+\frac{l+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{l+1}{2}\right)}\frac{\Gamma\left(k-\frac l2\right)}{\Gamma\left(-\frac l2\right)}z^{2k}\\ \displaystyle w_2(z)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^{2k}}{(2k+1)!}\frac{\Gamma\left(k+1+\frac{l}{2}\right)}{\Gamma\left(1+\frac{l}{2}\right)}\frac{\Gamma\left(k-\frac {l-1}2\right)}{\Gamma\left(-\frac {l-1}2\right)}z^{2k+1} \end{cases}\]

当 $k$ 充分大时, $c_{2k}\sim\text{const}\times\dfrac1k$, 除了常数倍数之外, 其在 $z=\pm1$ 处的行为与 $\displaystyle \ln\frac{1}{1-z^2}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{2k}}{k}$ 一致, 如果把它解析延拓到全平面上, 它一定是一个多值函数.

同样地, 当 $k$ 充分大时, $c_{2k+1}\sim \text{const}\times\dfrac1k\sim\text{const}\times\dfrac{1}{2k+1}$, 其在 $z=\pm 1$ 处的行为与 $\displaystyle\ln\frac{1+z}{1-z}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{2k+1}z^{2k+1}$ 一致, 如果把它解析延拓到全平面上, 它一定是一个多值函数.

Legendre 多项式

球内区域 Laplace 方程的轴对称边值问题

考虑

\[\begin{cases} \nabla^2 u=0\\ u\vert_\Sigma=f(\Sigma) \end{cases} \quad\text{in which }\Sigma:x^2+y^2+z^2=a^2\]

一个很自然的想法是采用球坐标系求解这个定解问题, 而且会把坐标原点的位置放在球心. 如果边界条件具有绕某一个固定轴旋转不变的对称性, 那么当然要把这个轴的方向取为极轴的方向. 这样选择坐标系之后, 所要求的未知函数就与 $\varphi$ 无关了. 根据极坐标系下 Laplace 算符的形式, 得到

\[\begin{cases} \dfrac1{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dfrac{\partial u}{\partial r}\right)+\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\dfrac{\partial}{\partial\theta}\right)=0\\ \text{Bounded at }u\vert_{\theta=0},\;u\vert_{\theta=\pi}\\ \text{Bounded at }u\vert_{r=0},\;u\vert_{r=a} \end{cases}\]

容易得到我们之前讨论过的 Legendre 方程, 其中 $x=\cos\theta,\;y(x)=\Theta(\theta),\;\lambda=\nu(\nu+1)$, 有界条件变为 $y(\pm 1)$ 有界.

• 若从 $x=0$ 点邻域内的两个线性无关解出发求解, 即为我们讨论过的结果. 为了使得方程的解在 $x=\pm 1$ 均有界, 就要求 $\lambda$ 取某些特殊值.
• 若从 $x=1$ 邻域内两个线性无关解出发求解, 由于 $z=\pm 1$ 是方程的正则奇点, 方程在环域 $0<\vert z-1\vert<2$ 内有两个正则解. 所以可以设 $\displaystyle w(z)=(z-1)^{\rho}\sum_{n=0}^\infty c_n(z-1)^n$, 代入 Legendre 方程, 可以得到在 $z=1$ 点的指标方程 $\rho(\rho - 1)+\rho=0\implies\rho_1=\rho_2=0$ . 这说明 Legendre 方程在 $z=1$ 邻域内的第一解在圆域 $\vert z-1\vert<2$ 内解析, 而第二解则一定含有对数项并以 $z=\pm 1$ 为支点.

实际上, 这两个解的形式为

\[\begin{cases} \displaystyle \mathrm P_\nu(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n!)^2}\frac{\Gamma(\nu+n+1)}{\Gamma(\nu-n+1)}\left(\frac{z-1}{2}\right)^2\\ \displaystyle \mathrm Q_\nu(z)=\frac12 \mathrm P_\nu(z)\left[\ln\frac{z+1}{z-1}-2\gamma-2\psi(\nu+1)\right]+\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n!)^2}\frac{\Gamma(\nu+n+1)}{\Gamma(\nu-n+1)}\left(\sum_{k=1}^n\frac1k\right)\left(\frac{z-1}{2}\right)^n \end{cases}\]

对于最终的 $y(x)=c_1\mathrm P_\nu(x)+c_2\mathrm Q_\nu(x)$, 必定有 $c_2=0$. 同时我们发现, 如果 $\mathrm P_\nu(x)$ 是无穷级数, 那么它必定在 $x=-1$ 处发散.

多项式形式

将我们得到的 $\mathrm P_\nu(z)$ 截断, 即得到 $l$ 次 Legendre 多项式

\[\mathrm P_l(x)=\sum_{n=0}^l\frac{1}{(n!)^2}\frac{(l+n)!}{(l-n)!}\left(\frac{x-1}{2}\right)^n\]

需要记忆其前几个表达式的形式:

\[\begin{cases} \mathrm P_0(x)=1\\ \mathrm P_1(x)=x\\ \mathrm P_2(x)=\dfrac12(3x^2-1)\\ \mathrm P_3(x)=\dfrac12(5x^3-3x) \end{cases}\]

成立

\[\mathrm P_l(-x)=(-1)^l\mathrm P_l(x)\]

且 Legendre 多项式的零点均在 $(-1,1)$ 内.

微分表示

成立如下 Rodrigues 公式:

\[\boxed{\mathrm P_l(x)=\frac{1}{2^ll!}\frac{\mathrm d^l}{\mathrm dx^l}(x^2-1)^l}\]

这是由于

\[\begin{align*} \frac{\mathrm d^l}{\mathrm dx^l}(x^2-1)^l&=\frac{\mathrm d^l}{\mathrm dx^l}[(x-1)^l(x-1+2)^l]\\ &=\frac{\mathrm d^l}{\mathrm dx^l}\left[\sum_{n=0}^{l}\frac{l!}{n!(l-n)!}2^{l-n}(x-1)^{l+n}\right]\\ &=\sum_{n=0}^l\frac{l!}{n!(l-n)!}2^{l-n}\frac{(l+n)!}{n!}(x-1)^n\\ &=2^ll!\sum_{n=0}^{l}\frac{1}{n!(l-n)!}\frac{(l+n)!}{n!}\left(\frac{x-1}{2}\right)^n \end{align*}\]

若直接将 $(x^2-1)^l$ 展开, 得到

\[(x^2-1)^l=\sum_{n=0}^{l}\frac{l!}{n!(l-n)!}(-1)^nx^{2l-2n}\]

逐项求导得到

\[\frac{\mathrm d^l}{\mathrm dx^l}(x^2-1)^l=\sum_{r=0}^{\lfloor\frac l2\rfloor}(-1)^n\frac{l!}{n!(l-n)!}\frac{(2l-2n)!}{(l-2n)!}x^{l-2n}\]

---

Legendre 多项式的性质

正交完备性

Legendre 多项式是本征值问题

\[\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[(1-x)^2\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right]+\nu(\nu+1)y=0,\quad \vert y(\pm 1)\vert<\infty\]

的解. 作为本征函数, Legendre 多项式应当具有正交性, 即满足

\[\boxed{\int_{-1}^1\mathrm P_k(x)\mathrm P_l(x)\mathrm dx=0\quad\forall k\neq l}\]

证明. 定义算符 $\displaystyle L[\mathrm P]:=-\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[(1-x^2)\frac{\mathrm d\mathrm P}{\mathrm dx}\right]$. 考虑

\[\begin{align*} &\int_{-1}^1(L[\mathrm P_k]\mathrm P_m-L[\mathrm P_m]\mathrm P_k)\mathrm dx\\ =&\int_{-1}^1\left[\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}((1-x^2)\mathrm P_m')\mathrm P_k-\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}((1-x^2)\mathrm P_k')\mathrm P_m\right]\mathrm dx\\ =&(1-x^2)(\mathrm P_m'\mathrm P_k-\mathrm P_m\mathrm P_k')\Big\vert_{-1}^1-\int_{-1}^1(1-x^2)(\mathrm P_m'\mathrm P_k'-\mathrm P_k'\mathrm P_m')\\ =&(1-x^2)(\mathrm P_m'\mathrm P_k-\mathrm P_m\mathrm P_k') \end{align*}\]

而 $\mathrm P_m’\mathrm P_k-\mathrm P_m\mathrm P_k’$ 在 $x=\pm 1$ 有界, 其行为不会奇异, 所以积分结果为 $0$. 而原积分式恰对应

\[\displaystyle[k(k+1)-m(m+1)]\int_{-1}^1\mathrm P_k\mathrm P_m\mathrm dx\]

从而证明了不同特征值 Legendre 多项式的正交性.

值得注意的是我们构造的类似于 Wronski 行列式的形式. 通过反对称的形式, 分部积分后边界项因为权函数 $1-x^2$ 为 $0$ 而消失, 而 $\mathrm P_m’\mathrm P_k’-\mathrm P_m’\mathrm P_k’$ 自动为 $0$.

我们构造的算子被称为 Sturm-Liouville 算子, 它是一个自伴算子, 即满足

\[\int_{-1}^1L[\mathrm P_k]\mathrm P_m\mathrm dx=\int_{-1}^1L[\mathrm P_m]\mathrm P_k\mathrm dx\]

的算子. 通过这样的构造, 我们避免了 Rodrigues 公式的丑陋形式, 把一个看似需要复杂积分计算的问题, 转化为利用微分算子代数性质的问题. 这正是 Sturm-Liouville 理论的核心思想——通过算子理论统一处理特殊函数的性质.

另有一冗长且丑陋的证明方式: 先证明

\[\int_{-1}^1x^k\mathrm P_l(x)\mathrm dx=0\quad\forall x<l\]

再从它推出所需结论.

在 Mathematics StackExchange 上发现了一个美妙的证法.

注意积分 $\displaystyle\int_{-1}^1\mathrm P_l(x)\mathrm P_l(x)\mathrm dx$ 不能写成 $\displaystyle\int_{-1}^1\mathrm P_l^2(x)\mathrm dx$. 后者表示连带 Legendre 多项式.

归一化系数

成立

\[\int_{-1}^1\mathrm P_k(x)\mathrm P_l(x)=\frac{2}{2l+1}\delta_{kl}\]

即

\[\int_0^\pi \mathrm P_k(\cos\theta)\mathrm P_l(\cos\theta)\sin\theta\mathrm d\theta=\frac{2}{2l+1}\delta_{kl}\]

这个归一化系数是将 Legendre 多项式写成 Rodrigues 公式之后经过 $l$ 次分部积分得到的.

考虑

\[I_n=\frac{1}{2^nn!}\int_{-1}^1\mathrm P_n(x)\left[\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}(x^2-1)^l\right]\mathrm dx\]

第一次分部积分, 结果为

\[\frac{1}{2^nn!}\left[\mathrm P_n(x)\frac{\mathrm d^{n-1}}{\mathrm dx^{n-1}}(x^2-1)^n\Bigg\vert_{-1}^1-\int_{-1}^1\mathrm P_n'(x)\frac{\mathrm d^{n-1}}{\mathrm dx^{n-1}}(x^2-1)^n\mathrm dx\right]\]

其中边界 $x=\pm 1$ 上满足

\[\frac{\mathrm d^l}{\mathrm dx^l}(x^2-1)^n=0\quad\forall 0\le l<n,\;l\in\mathbb N\]

所以只剩余最后一项

\[\frac{(-1)^n}{2^nn!}\int_{-1}^1\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\mathrm P_n(x)(x^2-1)^n\mathrm dx\]

其中由 Rodrigues 公式, $\mathrm P_n(x)$ 的首项系数为 $\dfrac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$, 所以

\[\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\mathrm P_n(x)=n!\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}=\frac{(2n)!}{2^nn!}\]

上式简化为

\[\begin{align*} I_n&=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\int_{-1}^1(1-x^2)^n\mathrm dx\\ &=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\cos^{2n+1}\theta\mathrm d\theta\\ &=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\cdot2\cdot\frac{2^nn!}{(2n+1)!!}\quad (\text{Wallis})\\ &=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\cdot2\cdot\frac{2^nn!\cdot2^nn!}{(2n+1)!}=\frac{2}{2n+1} \end{align*}\]

任意在区间 $[-1,1]$ 内分段连续的函数, 在平均收敛意义下可以展开为级数 $\displaystyle f(x)=\sum_{l=0}^{\infty}c_l\mathrm P_l(x)$. 其中

\[\boxed{c_l=\frac{2l+1}{2}\int_{-1}^1f(x)\mathrm P_l(x)\mathrm dx}\]

生成函数

考虑在距离原点 $r$ 处放有一个单位点电荷. 取点电荷所在点的方向为 $z$ 轴, 此时点电荷在 $(r’,\theta,\varphi)$ 的电势与 $\varphi$ 无关, 为

\[\frac{1}{\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\cos\theta}}=\begin{cases} \dfrac1r\dfrac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}\quad t=\dfrac{r'}{r}\\ \dfrac1{r'}\dfrac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}\quad t=\dfrac{r}{r'} \end{cases}\]

其中 $x=\cos\theta$, $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}\Bigg\vert_{t=0}=1$. 此规定下 $1/\sqrt{1-2xt+t^2}$ 在 $t=0$ 及其邻域内是解析的, 可以作 Taylor 展开为

\[\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum_{t=0}^\infty c_lt^l\quad\vert t\vert<\left\vert x\pm\sqrt{x^2-1}\right\vert\]

可以证明展开系数 $c_l$ 就是 Legendre 多项式, 因此它也被称作 Legendre 多项式的生成函数.

证明. 直接将 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}$ 在 $t=0$ 作 Taylor 展开.

生成函数可以推出许多有用的结果. 例如令 $x=1$, 可以得到 $\displaystyle \sum_{l=0}^\infty \mathrm P_l(1)t^l=\sum_{l=0}^{\infty}t^l$, 从而 $\mathrm P_l(1)=1$; 将 $x, t$ 同时取负, 可得 $\mathrm P_l(-x)=(-1)^l\mathrm P_l(x)$; 直接在 $t=0,x=0$ 作 Taylor 展开, 可以得到按 Rodrigues 公式直接展开的形式.

递推关系

将 $\dfrac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum_{l=0}^\infty \mathrm P_l(x)t^l$ 两端对 $t$ 微商, 可得

\[(x-t)\sum_{l=0}^\infty \mathrm P_l(x)t^l=(1-2xt+t^2)\sum_{l=0}^\infty l\mathrm P_l(x)t^{l-1}\]

比较 $t^l$ 项的系数, 整理得到

\[\boxed{2l(x+1)x\mathrm P_l(x)=(l+1)\mathrm P_{l+1}(x)+l\mathrm P_{l-1}(x)}\]

反复利用这个递推关系, 可以把任意次的 Legendre 多项式使用 $\mathrm P_0(x)=1$ 和 $\mathrm P_1(x)=x$ 表示出来.

如果不展开右端的微分式, 则可以得到

\[\boxed{\mathrm P_l(x)=\mathrm P_{l+1}'(x)-2x\mathrm P_l'(x)+\mathrm P_{l-1}'(x)}\]

进一步地还有

\[\mathrm P_{l-1}'=x\mathrm P_l'(x)-l\mathrm P_l(x)\]

等若干表达式.