守恒定律
一个系统的演化看起来是极其复杂的 (坐标 $q$ 和速度 $\dot{q}$ 随时间剧烈变化). 但在这种混沌的移动中, 是否有些东西是 “静止” 的?
对于具有 $n$ 个自由度的封闭力学系统, 在其运动过程中, 存在关于描述其状态的 $2n$ 个变量 $q_i,\dot q_i$ 的某些函数的值在运动过程中保持恒定且仅由初始条件决定, 这样的函数称为运动积分.
既然每一组初值决定一条轨迹, 那么反过来想: 在轨迹上运动时, “这组轨迹诞生的初值” 是不变的. 把运动方程的解反解出来, 将初值表示为当前状态和时间的函数, 得到
\[\begin{align*}C_1&=f_1(q,\dot q,t)\\ C_2&=f_2(q,\dot q,t)\\ C_{2n}&=f_{2n}(q,\dot q,t)\\ &\quad\vdots\end{align*}\]这样得到了 $2n$ 个积分. 而且对于封闭系统, 如果我们把整个运动在时间轴上平移 $\Delta t$, 物理过程是不变的. 在这 $2n$ 个包含时间的函数中, 我们总可以通过联立方程消元等消去时间变量 $t$. 这样, 就剩下 $2n-1$ 个只关于 $(q, \dot{q})$ 的函数, 它们的数值在运动过程中保持不变.
虽然数学上有 $2n-1$ 个积分, 但大部分积分的函数形式极其复杂、支离破碎, 没有物理直观. 只有那几个对应时空对称性的积分 (能量、动量、角动量)具有可加性, 这些运动积分的恒定不变性才具有深刻的意义.
能量
我们首先介绍时间均匀性导出的守恒定律.
由于时间具有均匀性, 封闭系统的 Lagrange 函数不显含时间. 因此 Lagrange 函数对时间的全导数可以写成
\[\frac{\mathrm dL}{\mathrm dt}=\sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\dot q_i+\sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\ddot q_i\]又 $\dfrac{\partial L}{\partial q_i}-\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot q_i}=0$, 得到
\[\frac{\mathrm dL}{\mathrm dt}=\sum_i\dot q_i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}+\sum_i\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\ddot q_i=\sum_i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\dot q_i\right)\implies\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\sum_i\dot q_i\frac{\partial L}{\partial\dot q_i} -L\right)=0\]从而
\[\boxed{E=\sum_i\dot q_i\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}-L}\]在封闭系统中运动保持不变, 是运动积分, 称为系统的能量. 能量与 Lagrange 函数的关系是线性的, 由 Lagrange 函数的可加性可以直接得出能量的可加性. 并且在上述推导中, 仅仅利用了 Lagrange 函数不显含时间的性质, 所以能量守恒定律不仅对于封闭系统成立, 对于定常外场 (不显含时间) 中的系统也成立. 能量守恒的力学系统也成为保守系统.
而封闭系统的 Lagrange 函数可以写成 $L=T(q,\dot q)-U(q)$, 其中 $T\propto\dot q^2$. 应用齐次函数的 Euler 定理, 得到
\[\sum_i\dot q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}=\sum_i\dot q_i\frac{\partial T}{\partial \dot q_i}=2T\]如果一个函数 $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 满足 $f(\lambda x_1, \dots, \lambda x_n) = \lambda^k f(x_1, \dots, x_n)$, 则称其为 $k$ 次齐次函数. Euler 定理指出：
\[\sum_{i=1}^{n} x_i \frac{\partial f}{\partial x_i} = k f\]
再代入能量式, 可得 $E=T(q,\dot q)+U(q)$, 在 Descartes 坐标下得到我们熟悉的结果:
\[E=\sum_a\frac{m_av_a^2}{2}+U(\boldsymbol r_1,\boldsymbol r_2,\cdots)\]可见系统的能量可以表示为本质不同的两项之和: 依赖于速度的动能和仅依赖于质点坐标的势能.
动量
我们接着推导从空间均匀性导出的守恒定律. 空间均匀性意味着将整个系统作为一个整体在空间中进行无限小位移 $\boldsymbol\varepsilon$, 系统的物理性质 $L$ 保持不变, 即 $\delta L = 0$.
在速度不变时, 坐标的无穷小改变使得 Lagrange 函数产生的变化为
\[\delta L=\sum_a\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol r_a}\cdot\delta\boldsymbol r_a=\boldsymbol\varepsilon\cdot\sum_a\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol r_a}\]这要求 $\displaystyle\sum_a\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol r_a}=0$. 根据 Lagrange 方程有 $\displaystyle\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\sum_a\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol v_a}=0$. 定义
\[\boxed{\boldsymbol P=\sum_a\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol v_a}=\text{const.}}\]封闭力学系统中的此矢量 $\boldsymbol P$ 也是一个运动积分, 称为系统的动量. 对 Lagrange 函数求导, 可得用质点速度表示的动量, 得到我们熟悉的结果
\[\boldsymbol P=\sum_a m_a\boldsymbol v_a\]与能量不同之处在于, 无论质点之间的相互作用是否可以忽略, 系统的动量都等于各个质点的动量之和. 在有外场的情况下, 如果势能不显含某个 Descartes 坐标, 则相应的该方向的动量分量守恒, 沿着相应的坐标轴平移, 不会改变力学系统的性质.
又由 $\dfrac{\partial L}{\partial\boldsymbol r_a}=-\dfrac{\partial U}{\partial\boldsymbol r_a}$ 是作用在第 $a$ 个质点上的力 $\boldsymbol F_a$, $\displaystyle\sum_a\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol r_a}=0$ 表明作用在封闭系统上所有质点上的力之和等于 $0$. 特别地, 当系统只由两个质点组成的时候, 成立
\[\boxed{\boldsymbol F_1+\boldsymbol F_2=0}\]此即 Newton 第三定律.
进一步地, 如果用广义坐标 $q_i$ 描述运动, 则 Lagrange 函数对广义速度的导数 $p_i=\dfrac{\partial L}{\partial\dot q_i}$ 称为广义动量, 它对广义坐标的导数 $F_i=\dfrac{\partial L}{\partial q_i}$ 则称为广义力. 采用上述符号, Lagrange 方程可以写作
\[\boxed{\dot p_i=F_i}\]在 Descartes 坐标下广义动量是 $\boldsymbol p_a$ 的分量. 一般情况下, $p_i$ 是广义速度 $\dot q_i$ 的线性齐次函数, 不能化为质量语速度的积.
如果参考系 $K’$ 相对于参考系 $K$ 以速度 $\boldsymbol V$ 运动, 则质点相对于这两个参考系的速度 $\boldsymbol v_a’$ 和 $\boldsymbol v_a$ 满足关系 $\boldsymbol v_a=\boldsymbol v_a’+\boldsymbol V$. 因此在这两个参考系中成立
\[\boldsymbol P=\boldsymbol P'+\boldsymbol V\sum_am_a\]特别地, 一定存在使得总动量等于 $0$ 的参考系 $K’$, 令 $\boldsymbol P’=0$, 求得
\[\boldsymbol V=\frac{\boldsymbol P}{\sum m_a}=\frac{\sum m_a\boldsymbol v_a}{\sum m_a}\]如果在给定参考系下力学系统的总动量为 $0$, 则称系统相对于该参考系静止. 动量 $\boldsymbol P$ 与系统整体运动速度 $\boldsymbol V$ 的关系就如同一个质点动量与速度的关系, 该质点的质量为 $\mu=\sum m_a$, 这证明了质量具有可加性.
将 $\boldsymbol V$ 看作 $\boldsymbol R=\dfrac{\sum m_a\boldsymbol r_a}{\sum m_a}$ 关于时间的导数, 这个径矢代表的点称为系统的质心. 封闭系统的动量守恒定律可以表述为系统的质心作匀速直线运动.
研究封闭系统的力学性质时, 采用质心静止的参考系, 这样就可以不必研究系统整体的匀速直线运动. 整体静止的力学系统的能量通常称作内能, 记为 $E_{\text{int}}$, 以速度 $\boldsymbol V$ 作整体运动的系统能量可以写作
\[E=\frac{\mu V^2}{2}+E_\text{int}\]角动量
我们接着推导由空间各向同性得到的守恒定律. 这意味着封闭系统整体在空间中任意转动时, 力学性质保持不变. 考虑系统整体的无穷小转动, 引入矢量 $\delta\boldsymbol\varphi$, 其大小为 $\delta\varphi$, 方向沿着转动轴.
从位于转动轴的坐标原点指向系统中某个质点的径矢, 其端点的线位移与转角之间的关系为 $\delta\boldsymbol r=\delta\boldsymbol\varphi\times\boldsymbol r$. 系统转动时不仅径矢的方向改变, 所有质点的速度也都改变, 并且所有矢量的变化规律相同, 因此速度相对固定坐标系的增量 $\delta\boldsymbol v=\delta\boldsymbol\varphi\times\boldsymbol v$. 代入 $\displaystyle\delta L=\sum_a\left(\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol r_a}\cdot\delta\boldsymbol r_a+\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol v_a}\cdot\delta\boldsymbol v_a\right)=0$, 作代换 $\partial L/\partial\boldsymbol v_a=\boldsymbol p_a$, $\partial L/\partial\boldsymbol r_a=\partial \dot{\boldsymbol p}_a$, 得到
\[\sum_a[\dot{\boldsymbol p}_a\cdot(\delta\boldsymbol\varphi\times\boldsymbol r_a)+\boldsymbol p_a\cdot(\delta\boldsymbol\varphi\times\boldsymbol v_a)]=0\]利用混合积的线性性, 提取公因子 $\delta\boldsymbol\varphi$, 得到
\[\delta\boldsymbol\varphi\cdot\sum_a(\boldsymbol r_a\times\dot{\boldsymbol p}_a+\boldsymbol v_a\times\boldsymbol p_a)=\delta\boldsymbol\varphi\cdot\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\sum_a\boldsymbol r_a\times\boldsymbol p_a=0\]由 $\delta\boldsymbol\varphi$ 的任意性, 可以得到
\[\boldsymbol M=\sum_a\boldsymbol r_a\times\boldsymbol p_a=\text{const.}\]物理量 $\boldsymbol M$ 称为系统的角动量. 类似于线动量, 这个物理量不依赖于质点之间是否有相互作用, 它的可加性是显然的.
根据以上推导可以得出, 角动量的取值通常与坐标原点的选取有关. 如果两个坐标原点相差矢量 $\boldsymbol a$, 同一个点对这两个坐标原点的径矢分别为 $\boldsymbol r_a$, $\boldsymbol r_a’$, 满足关系式 $\boldsymbol r_a=\boldsymbol r’+\boldsymbol a$, 则有 $\boldsymbol M=\boldsymbol M’+\boldsymbol a\times\boldsymbol P$. 因此只有在系统整体静止时, 其角动量不依赖于坐标原点的选择.
对于不同惯性参考系 $K$ 和 $K’$, 设 $K’$ 相对于 $K$ 的速度为 $\boldsymbol V$, 假定它们的坐标原点在某个给定时刻重合, 那么质点相对两个参考系的径矢相同, 成立 $\boldsymbol v_a=\boldsymbol v_a’+\boldsymbol V$. 于是有
\[\boldsymbol M=\sum_am_a\boldsymbol r_a\times\boldsymbol v_a=\sum_am_a\boldsymbol r_a\times\boldsymbol v_a'+\sum_am_a\boldsymbol r_a\times\boldsymbol V\]再应用质心径矢公式, 有
\[\boldsymbol M=\boldsymbol M'+\mu\boldsymbol R\times\boldsymbol V\]这给出了相对不同参考系的角动量之间的变换关系.
如果系统整体相对于参考系 $K’$ 静止, 则 $\boldsymbol V$ 是系统质心的速度, $\mu \boldsymbol V$ 是系统相对于参考系 $K$ 的总动量 $\boldsymbol P$, 进而有
\[\boldsymbol M=\boldsymbol M'+\boldsymbol R\times \boldsymbol P\]即, 力学系统的角动量由其相对静止的参考系中的内禀角动量和整体运动的角动量 $\boldsymbol R\times \boldsymbol P$ 组成.
虽然只有封闭系统的角动量三个分量都守恒, 但是在一定限制下, 这个守恒定律对于外场中运动的系统也成立. 角动量在外场的对称轴上投影总是守恒的, 因为绕着该轴转动时系统力学性质不变. 特别地, 对于中心对称外场, 在这种场内运动时系统角动量在任意过中心的轴上投影都守恒, 也即系统相对于场中心的角动量 $\boldsymbol M$ 守恒; 对于沿着 $z$ 轴的均匀场中, 角动量投影 $M_z$ 守恒, 并且坐标原点可以任意选取.
力学相似性
除了上述基于时空平移和旋转的守恒定律外, 当势能函数满足齐次性时, 系统还展现出一种 “标度相似性”, 这让我们能不解方程就得出不同规模运动之间的比例关系.
标度变换与齐次性
设系统的势能函数 $U(r_1, r_2, \dots)$ 是关于坐标的 $k$ 次齐次函数, 即
\[U(\alpha r_1, \alpha r_2, \dots) = \alpha^k U(r_1, r_2, \dots)\]考虑空间坐标缩放 $\alpha$ 倍, 时间缩放 $\beta$ 倍, 即变换 $r_a \to \alpha r_a$, $t \to \beta t$. 此时速度的缩放比例为 $v \to \dfrac{\alpha}{\beta} v$. 代入系统的 Lagrange 函数 $L = T - U$, 动能项 $T \propto v^2$, 变换后变为 $\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)^2 T$ ; 势能项 $U \propto r^k$, 变换后变为 $\alpha^k U$. 为了使运动方程的形式保持不变, Lagrange 函数的每一项必须以相同的比例缩放, 因此要求
\[\frac{\alpha^2}{\beta^2} = \alpha^k \quad \Rightarrow \quad \beta = \alpha^{1 - \frac{k}{2}}\]由此得到力学相似性原理: 若空间尺度改变 $\alpha$ 倍, 则对应运动的时间过程改变 $\alpha^{1-k/2}$ 倍. 即时间 $t$ 与空间 $l$ 的关系满足
\[\frac{t'}{t} = \left( \frac{l'}{l} \right)^{1 - \frac{k}{2}}\]通过此比例关系, 我们可以直接得到不同力场下的重要结论.
- 匀加速运动/重力场 ($k=1$) : $t \propto l^{1-1/2} = l^{1/2}$，即 $l \propto t^2$, 自由落体位移与时间的平方成正比.
- 谐振子 ($k=2$) : $t \propto l^{1-2/2} = l^0 = \text{const}$. 即振动周期与振幅无关.
- 平方反比力/引力场 ($k=-1$) : $t \propto l^{1-(-1/2)} = l^{3/2}$, 即 $t^2 \propto l^3$, 轨道周期的平方与轨道半径的立方成正比 ( Kepler 第三定律 ).
速度与能量的标度同理, 我们还可以得到速度 $v$ 和能量 $E$ 随空间尺度 $l$ 的缩放关系, 即 $v \sim \dfrac{l}{t} \propto l^{k/2}$, $E \sim T \sim v^2 \propto l^k$.
维里定理
$\text{Virial}$ 一词源自拉丁语 $\text{vis}$, 意为 “力” 或 “能量”, 由德国物理学家 R. Clausius 在 1870 年首次提出. 他在研究气体分子的热运动时, 需要一个量来描述系统中所有质点之间相互作用力的 “规模” 或 “强度”. 在原始定义中 Clausius 将下面这个表达式称为系统的 $\text{Virial}$:
\[V = \frac{1}{2} \sum_{a} \boldsymbol F_a \cdot \boldsymbol r_a\]这里 $\boldsymbol{F}_a$ 是作用在第 $a$ 个质点上的力, $\boldsymbol{r}_a$ 是它的位置矢量. Clausius 认为, 这个量衡量了维持系统聚集在一起的 “内部力量”. 维里定理指出，对于一个处于平衡状态（或长期运动受限）的系统，平均动能 $\bar{T}$ 恰好等于这个“维里项”的负平均值, 即
\[\bar{T} = -\frac{1}{2} \overline{\sum_{a} \boldsymbol{F}_a \cdot \boldsymbol{r}_a}\]如果力是来自 $k$ 次齐次势能函数 $U$（即 $\boldsymbol{F} = -\nabla U$）, 根据 Euler 齐次函数定理, 可得
\[\sum \frac{\partial U}{\partial \boldsymbol{r}_a} \cdot \boldsymbol{r}_a = kU\]代入 Clausius 给出的公式, $\text{Virial}$ 就变成了 $\dfrac{k}{2}U$.